Analyse – Rijen en reeksen – Absolute convergentie

Definitie: Een reeks \(\displaystyle\sum a_n\) heet absoluut convergent als de reeks van de absolute waarden \(\displaystyle\sum|a_n|\) convergent is.

Stelling: Als een reeks \(\displaystyle\sum a_n\) absoluut convergent is, dan is deze convergent.

Bewijs:
Merk op dat de ongelijkheid \(0\leq a_n+|a_n|\leq 2|a_n|\) waar is, omdat \(|a_n|\) óf \(a_n\) óf \(-a_n\) is. Als \(\displaystyle\sum a_n\) absoluut convergent is, dan is \(\displaystyle\sum|a_n|\) convergent en dus is \(\displaystyle\sum2|a_n|\) convergent. Dus volgt uit het majorantenkenmerk dat \(\displaystyle\sum\left(a_n+|a_n|\right)\) convergent is. Dan is

\[\sum a_n=\sum\left(a_n+|a_n|\right)-\sum|a_n|\]

het verschil van twee convergente reeksen en is dus convergent.

Definitie: Een reeks \(\displaystyle\sum a_n\) heet voorwaardelijk convergent (ook wel: relatief convergent) als deze convergent is, maar niet absoluut convergent.

Voorbeelden

1. De alternerende harmonische reeks \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}\) is voorwaardelijk convergent,


2. De reeks \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(n)}{n^2}\) is absoluut convergent.

Het quotiëntkenmerk

Stelling:

1. Als \(\displaystyle\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=L<1\), dan is de reeks \(\displaystyle\sum a_n\) absoluut convergent,


2. Als \(\displaystyle\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=L>1\) of \(\displaystyle\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\infty\), dan is de reeks \(\displaystyle\sum a_n\) divergent,


3. Als \(\displaystyle\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=1\), dan kan de reeks \(\displaystyle\sum a_n\) convergent, maar ook divergent zijn.

Bewijs:
Als \(\displaystyle\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=L<1\) dan kunnen we een getal \(r\) kiezen zodat \(L < r < 1\). Dan volgt uit \(\displaystyle\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=L\) dat er een geheel getal \(N\) bestaat zodat \(\displaystyle\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| < r\) voor alle \(n\geq N\) oftewel \(|a_{n+1}| < |a_n|r\) voor alle \(n\geq N\). Dus geldt:

\[|a_{N+1}| < |a_N|r,\quad |a_{N+2}| < |a_{N+1}|r < |a_N|r^2,\quad|a_{N+3}| < |a_{N+2}|r < |a_N|r^3,\quad\ldots.\]

Algemeen: \(|a_{N+k}| < |a_N|r^k\) voor \(k=1,2,3,\ldots\). Nu is de reeks \(\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}|a_N|r^k\) convergent omdat het een meetkundige reeks is met reden \(r\) en \(0 < r < r\). Hieruit volgt dat de reeks \(\displaystyle\sum_{n=N+1}^{\infty}|a_n|=\sum_{k=1}^{\infty}|a_{N+k}|\) convergent is. De reeks \(\displaystyle\sum|a_n|\) is dus convergent.

Als \(\displaystyle\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=L>1\) of \(\displaystyle\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\infty\), dan zal het quotiënt \(\displaystyle\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\) uiteindelijke groter dan \(1\) worden, dat wil zeggen: er bestaat een geheel getal \(N\) zodat \(\displaystyle\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|>1\) voor alle \(n\geq N\). Hieruit volgt dat \(|a_{n+1}| > |a_n|\) voor alle \(n\geq N\) en dus \(\lim\limits_{n\to\infty}a_n\neq0\). De reeks \(\displaystyle\sum a_n\) is dus divergent.

Om te laten zien dat in het geval dat \(\displaystyle\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=1\), de reeks convergent, maar ook divergent kan zijn, beschouwen we de divergente reeks \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\) en de convergente reeks \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\). Merk op dat

\[\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\frac{1}{n+1}}{\frac{1}{n}}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n}{n+1}=1\quad\text{en}\quad \lim\limits_{n\to\infty}\frac{\frac{1}{(n+1)^2}}{\frac{1}{n^2}}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n^2}{(n+1)^2}=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{n}{n+1}\right)^2=1.\]

Voorbeelden

1) Beschouw de alternerende reeks \(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{2n+1}{2^n}\). Laat \(a_n=\displaystyle(-1)^n\frac{2n+1}{2^n}\), dan geldt:

\[\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim\limits_{n\to\infty}\left|(-1)^{n+1}\frac{2n+3}{2^{n+1}}\cdot(-1)^n\frac{2^n}{2n+1}\right| =\lim\limits_{n\to\infty}\frac{2n+3}{2n+1}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{2}<1.\]

Hieruit volgt dat de reeks absoluut convergent is.

2) Beschouw de reeks \(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n!}{5^n}\). Laat \(a_n=\displaystyle\frac{n!}{5^n}\), dan geldt:

\[\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{(n+1)!}{5^{n+1}}\cdot\frac{5^n}{n!}\right| =\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{5}(n+1)=\infty.\]

Hieruit volgt dat de reeks divergent is.

Het wortelkenmerk

Stelling:

1. Als \(\displaystyle\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=L<1\), dan is de reeks \(\displaystyle\sum a_n\) absoluut convergent,


2. Als \(\displaystyle\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=L>1\) of \(\displaystyle\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=\infty\), dan is de reeks \(\displaystyle\sum a_n\) divergent,


3. Als \(\displaystyle\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=1\), dan kan de reeks \(\displaystyle\sum a_n\) convergent, maar ook divergent zijn.

Het bewijs is vergelijkbaar met het bewijs van het quotiëntkenmerk en is gebaseerd op de observatie dat als \(L < r < 1\) dan volgt uit \(\displaystyle\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=L\) dat er een geheel getal \(N\) bestaat zodat \(\sqrt[n]{|a_n|} < r\) voor alle \(n\geq N\). Hieruit volgt dat

\[\sqrt[N+k]{|a_{N+k}|} < r\quad\Longrightarrow\quad |a_{N+k}| < r^{N+k},\quad k=0,1,2,\ldots.\]

Hieruit volgt dat \(\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}|a_{N+k}|\) convergent is, want \(\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}r^{N=k}\) is een convergente meetkundige reeks met reden \(r\) omdat \(0 < r < 1\).

Voorbeelden

1) Beschouw de reeks \(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{2n+1}{3n+4}\right)^n\). Laat \(a_n=\displaystyle\left(\frac{2n+1}{3n+4}\right)^n\), dan geldt:

\[\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{2n+1}{3n+4}\right|=\frac{2}{3}<1.\]

Hieruit volgt dat de reeks absoluut convergent is.

2) Beschouw de reeks \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{2n+1}{n}\right)^n\). Laat \(a_n=\displaystyle\frac{2n+1}{n}\), dan geldt:

\[\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{2n+1}{n}\right|=2.\]

Hieruit volgt dat de reeks divergent is.

---

Laatst gewijzigd op 15 maart 2021