Analyse – Rijen en reeksen – Vergelijkingskenmerken

Vergelijkingskenmerken

Stelling: Neem aan dat \(\displaystyle\sum a_n\) en \(\displaystyle\sum b_n\) reeksen zijn met positieve termen.

1. Als \(\displaystyle\sum b_n\) convergent is en \(a_n\leq b_n\) voor alle \(n\), dan is \(\displaystyle\sum a_n\) ook convergent.


2. Als \(\displaystyle\sum b_n\) divergent is en \(a_n\geq b_n\) voor alle \(n\), dan is \(\displaystyle\sum a_n\) ook divergent.

Merk op dat de voorwaarden slechts hoeven te gelden voor \(n\geq N\), waarbij \(N\) een of ander vast positief geheel getal is.

Het eerste deel van de stelling wordt ook wel het majorantenkenmerk genoemd en het tweede deel het minorantenkenmerk.

Voorbeelden:

1. \(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2^n+1}\) is convergent, want \(\displaystyle\frac{1}{2^n+1}<\frac{1}{2^n}\) en \(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2^n}\) is een meetkundige reeks met reden \(\displaystyle\frac{1}{2}\) en die is convergent.


2. \(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n^2+1}\) is convergent, want \(\displaystyle\frac{1}{n^2+1}<\frac{1}{n^2}\) en \(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n^2}\) is een \(p\)-reeks met \(p=2>1\) en die is convergent.


3. \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\ln(n)}{n}\) is divergent, want \(\displaystyle\frac{\ln(n)}{n}>\frac{1}{n}\) voor \(n\geq3\) en \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\) is de harmonische reeks en die is divergent.

Het limietvergelijkingskenmerk

Stelling: Neem aan dat \(\displaystyle\sum a_n\) and \(\displaystyle\sum b_n\) reeksen zijn met positieve termen. Als \(\displaystyle\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=c\), waarbij \(c\) een eindig getal is en \(c>0\), dan geldt dat óf beide reeksen convergeren óf beide divergeren.

Bewijs:
Laat \(m\) en \(M\) positieve getallen zijn zodat \(m < c < M\). Omdat \(\displaystyle\frac{a_n}{b_n}\) in de buurt van \(c\) ligt voor grote \(n\), bestaat er een geheel getal \(N\) zodat

\[m < \frac{a_n}{b_n} < M\;\;\text{for}\;\;n>N\quad\Longrightarrow\quad mb_n < a_n < Mb_n\;\;\text{for}\;\;n>N.\]

Als \(\displaystyle\sum b_n\) convergert, dan convergeert \(\displaystyle\sum Mb_n\) ook. Dan convergeert \(\displaystyle\sum a_n\) ook, want \(a_n < Mb_n\) voor \(n > N\).

Als \(\displaystyle\sum b_n\) divergeert, dan divergeert \(\displaystyle\sum mb_n\) ook. Dan divergeert \(\displaystyle\sum a_n\) ook, want \(mb_n < a_n\) voor \(n > N\).

Voorbeelden:

1) Beschouw de reeks \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n-1}\). Laat \(a_n=\displaystyle\frac{1}{2^n-1}\) en \(b_n=\displaystyle\frac{1}{2^n}\), dan geldt:

\[\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{2^n-1}\cdot\frac{2^n}{1}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{1-2^{-n}}=\frac{1}{1-0}=1>0.\]

Omdat \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}b_n=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n}\) een meetkundige reeks is met reden \(\displaystyle\frac{1}{2}\) en dus convergent, concluderen we dat \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n-1}\) ook convergeert.

2) Beschouw de reeks \(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\sqrt{n^4+4n+5}}{2n^5+3n^2+1}\). Laat \(a_n=\displaystyle\frac{\sqrt{n^4+4n+5}}{2n^5+3n^2+1}\) en \(b_n=\displaystyle\frac{\sqrt{n^4}}{n^5}=\frac{n^2}{n^5}=\frac{1}{n^3}\), dan geldt:

\[\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\sqrt{n^4+4n+5}}{2n^5+3n^2+1}\cdot\frac{n^3}{1}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\sqrt{1+4n^{-3}+5n^{-4}}}{2+3n^{-3}+n^{-5}}=\frac{\sqrt{1+0+0}}{2+0+0}=\frac{1}{2}>0.\]

Omdat \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}b_n=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}\) een \(p\)-reeks is met \(p=3>1\) en dus convergeert, concluderen we dat \(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_n=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\sqrt{n^4+4n+5}}{2n^5+3n^2+1}\) ook convergeert.

3) Beschouw de reeks \(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{3n^2+5n+2}{\sqrt{2n^5+4n^3+3}}\). Laat \(a_n=\displaystyle\frac{3n^2+5n+2}{\sqrt{2n^5+4n^3+3}}\) en \(b_n=\displaystyle\frac{n^2}{\sqrt{n^5}}=\frac{n^2}{n^{\frac{5}{2}}}=\frac{1}{n^{\frac{1}{2}}}\), then:

\[\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{3n^2+5n+2}{\sqrt{2n^5+4n^3+3}}\cdot\frac{n^{\frac{1}{2}}}{1}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{3+5n^{-1}+2n^{-2}}{\sqrt{2+4n^{-2}+3n^{-5}}}=\frac{3+0+0}{\sqrt{2+0+0}}=\frac{3}{\sqrt{2}}>0.\]

Omdat \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}b_n=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{\frac{1}{2}}}\) een \(p\)-reeks is met \(p=\displaystyle\frac{1}{2}\leq1\) en dus divergeert, concluderen we dat \(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_n=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{3n^2+5n+2}{\sqrt{2n^5+4n^3+3}}\) ook divergeert.

Het quotiëntvergelijkingskenmerk (niet in het boek)

Stelling: Neem aan dat \(\displaystyle\sum a_n\) and \(\displaystyle\sum b_n\) reeksen zijn met positieve termen.

1. Als \(\displaystyle\sum b_n\) convergent is en \(\displaystyle\frac{a_{n+1}}{a_n}\leq\frac{b_{n+1}}{b_n}\) voor alle \(n\), dan convergeert \(\displaystyle\sum a_n\) ook.


2. Als \(\displaystyle\sum b_n\) divergent is en \(\displaystyle\frac{a_{n+1}}{a_n}\geq\frac{b_{n+1}}{b_n}\) voor alle \(n\), dan divergeert \(\displaystyle\sum a_n\) ook.

Merk op dat de voorwaarden slechts hoeven te gelden voor \(n\geq N\), waarbij \(N\) een of ander vast positief geheel getal is.

---

Laatst gewijzigd op 15 maart 2021