Analyse – Rijen en reeksen – Een genererende functie voor de Fibonaccigetallen

Eerder hebben we gezien dat de rij van Fibonaccigetallen \(1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,\ldots\) wordt gedefinieerd door \(F_{n+2}=F_n+F_{n+1}\) voor \(n=1,2,3,\ldots\) met \(F_1=F_2=1\).

Voor het gemak gebruiken we echter \(F_{n+2}=F_n+F_{n+1}\) voor \(n=0,1,2,\ldots\) met \(F_0=0\) en \(F_1=1\).

Nu beschouwen de genererende functie \(G(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}F_nx^n=\sum_{n=0}^{\infty}F_nx^n\). Dan geldt

\[x^2G(x)=\sum_{n=0}^{\infty}F_nx^{n+2}=\sum_{n=0}^{\infty}F_{n+2}x^{n+2}-\sum_{n=0}^{\infty}F_{n+1}x^{n+2} =\sum_{n=1}^{\infty}F_nx^n-F_1x-x\sum_{n=1}^{\infty}F_nx^n=G(x)-x-xG(x).\]

Hieruit volgt dat

\[(1-x-x^2)G(x)=x\quad\Longrightarrow\quad G(x)=\frac{x}{1-x-x^2}.\]

Om de convergentiestraal te bepalen, passen we het quotiëntkenmerk toe: voor \(x\neq0\) laat \(a_n=F_nx^n\), dan geldt:

\[\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{F_{n+1}x^{n+1}}{F_nx^n}\right| =\lim\limits_{n\to\infty}\frac{F_{n+1}}{F_n}|x|=\varphi|x|,\]

waarbij \(\displaystyle\lim\limits_{n\to\infty}\frac{F_{n+1}}{F_n}=\varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\approx1.618\) de gulden snede is.

Nu volgt uit het quotiëntkenmerk dat de genererende reeks absoluut convergent is als \(|x| < \displaystyle\frac{1}{\varphi}=\varphi-1\approx0.618\).

Hieruit volgt bijvoorbeeld dat \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{F_n}{2^n}=G(\tfrac{1}{2})=\frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}-\frac{1}{4}}=2\).

Differentiëren leidt tot

\[\sum_{n=1}^{\infty}nF_nx^{n-1}=G'(x)=\frac{1-x-x^2+x+2x^2}{(1-x-x^2)^2}=\frac{1+x^2}{(1-x-x^2)^2}.\]

Hieruit volgt bijvoorbeeld dat \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{nF_n}{2^n}=\tfrac{1}{2}G'(\tfrac{1}{2})=\frac{1+\frac{1}{4}}{2\left(1-\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\right)^2}=10\).

Nogmaals differentiëren geeft

\begin{align*} \sum_{n=2}^{\infty}n(n-1)F_nx^{n-2}=G''(x)&=\frac{2x(1-x-x^2)^2-2(1-x-x^2)(-1-2x)(1+x^2)}{(1-x-x^2)^4}\\[2.5mm] &=\frac{2(x-x^2-x^3+1+x^2+2x+2x^3)}{(1-x-x^2)^3}=\frac{2(1+3x+x^3)}{(1-x-x^2)^3}. \end{align*}

Hieruit volgt bijvoorbeeld dat \(\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}\frac{n(n-1)F_n}{2^n}=\tfrac{1}{4}G''(\tfrac{1}{2})=\frac{2\left(1+\frac{3}{2}+\frac{1}{8}\right)}{4\left(1-\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\right)^3}=84\).

Ten slotte, laten we proberen \(G(x)=1\) op te lossen met \(\displaystyle|x|<\frac{1}{\varphi}=\varphi-1\approx0.618\):

\[\frac{x}{1-x-x^2}=1\quad\Longleftrightarrow\quad x=1-x-x^2\quad\Longleftrightarrow\quad(x+1)^2=2\quad\Longleftrightarrow\quad x=-1\pm\sqrt{2}.\]

Omdat \(\sqrt{2}-1\approx0.414\) leidt dit tot het opmerkelijke resultaat dat \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left(\sqrt{2}-1\right)^nF_n=1\).

---

Laatst gewijzigd op 15 maart 2021