Analyse – Rijen en reeksen – Machtreeksoplossingen van differentiaalvergelijkingen

Een tweede orde lineaire differentiaalvergelijking heeft de vorm

\[P(x)y''(x)+Q(x)y'(x)+R(x)y(x)=G(x),\]

waarbij \(P\), \(Q\) en \(R\) continue functies zijn met \(P(x)\not\equiv0\).

Dergelijke differentiaalvergelijkingen kunnen niet altijd expliciet worden opgelost in termen van eindige combinaties van eenvoudige bekende functies. Dit geldt zelfs voor eenvoudig uitziende vergelijkingen zoals

\[xy''+y'+xy=0\quad\text{of}\quad y''-2xy'+4y=0.\]

In het geval van lineaire differentaailvergelijkingen is het soms wel mogelijk om oplossingen te vinden in termen van machtreeksen. De methode is om zo'n machtreeks te substutueren in de differentiaalvergelijking en te proberen de waarden van de coëfficiënten te bepalen. Eerst illustreren we de methode door de differentiaalvergelijking \(y''+y=0\) op te lossen; daarvan kennen we al de algemene oplossing: \(y(x)=c_0\cos(x)+c_1\sin(x)\) met \(c_0,c_1\in\mathbb{R}\).

Stewart §17.4, Voorbeeld 1:
Los de differentiaalvergelijking \(y''+y=0\) op met behulp van machtreeksen.

Oplossing:
We nemen aan dat er een oplossing is van de vorm \(y=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}c_nx^n\). Dan geldt: \(y'=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}nc_nx^{n-1}\) en \(y''=\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}n(n-1)c_nx^{n-2}\). Substitutie geeft dan

\[\sum_{n=2}^{\infty}n(n-1)c_nx^{n-2}+\sum_{n=0}^{\infty}c_nx^n=0\quad\Longleftrightarrow\quad \sum_{n=0}^{\infty}(n+2)(n+1)c_{n+2}x^n+\sum_{n=0}^{\infty}c_nx^n=0.\]

Hieruit volgt dat

\[\sum_{n=0}^{\infty}\left[(n+2)(n+1)c_{n+2}+c_n\right]x^n=0\quad\Longrightarrow\quad(n+2)(n+1)c_{n+2}+c_n=0,\quad n=0,1,2,\ldots.\]

Dit is een recurrente betrekking voor de coëfficiënten:

\[c_{n+2}=-\frac{c_n}{(n+1)(n+2)},\quad n=0,1,2,\ldots.\]

Als \(c_0\) en \(c_1\) bekend zijn, dan geeft deze vergelijking ons de mogelijkheid om de resterende coëfficiënten recursief te bepalen door achtereenvolgens \(n=0,1,2,\ldots\) te nemen:

\[\begin{array}{llll} n=0: & c_2=-\displaystyle\frac{c_0}{1\cdot2} &{}\hspace{25mm}n=1: & c_3=-\displaystyle\frac{c_1}{2\cdot3}\\[5mm] n=2: & c_4=-\displaystyle\frac{c_2}{3\cdot4}=\frac{c_0}{1\cdot2\cdot3\cdot4}=\frac{c_0}{4!} &{}\hspace{25mm}n=3: & c_5=-\displaystyle\frac{c_3}{4\cdot5}=\frac{c_1}{2\cdot3\cdot4\cdot5}=\frac{c_1}{5!}\\[5mm] n=4: & c_6=-\displaystyle\frac{c_4}{5\cdot6}=-\frac{c_0}{4!\cdot5\cdot6}=-\frac{c_0}{6!} &{}\hspace{25mm}n=5: & c_7=-\displaystyle\frac{c_5}{6\cdot7}=-\frac{c_1}{5!\cdot6\cdot7}=-\frac{c_1}{7!} \end{array}\]

enzovoort. We zien nu het patroon: \(c_{2n}=\displaystyle\frac{(-1)^n}{(2n)!}c_0\) en \(c_{2n+1}=\displaystyle\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}c_1\) voor \(n=1,2,3,\ldots\). Dit leidt tot de (algemene) oplossing

\[y=\sum_{n=0}^{\infty}c_nx^n=\sum_{n=0}^{\infty}c_{2n}x^{2n}+\sum_{n=0}^{\infty}c_{2n+1}x^{2n+1} =c_0\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n}+c_1\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}=c_0\cos(x)+c_1\sin(x), \quad c_0,c_1\in\mathbb{R}.\]

Het is niet altijd mogelijk om alle oplossingen of de algemene oplossing te vinden:

Voorbeeld: Bepaal een oplossing van \(xy''+y'+xy=0\).

Oplossing: Substitutie van \(y=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}c_nx^n\), \(y'=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}nc_nx^{n-1}\) en \(y''=\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}n(n-1)c_nx^{n-2}\) geeft

\[x\sum_{n=0}^{\infty}n(n-1)c_nx^{n-2}+\sum_{n=1}^{\infty}nc_nx^{n-1}+x\sum_{n=0}^{\infty}c_nx^n=0\quad\Longleftrightarrow\quad \sum_{n=2}^{\infty}n(n-1)c_nx^{n-1}+\sum_{n=1}^{\infty}nc_nx^{n-1}+\sum_{n=0}^{\infty}c_nx^{n+1}=0.\]

Om de coëfficiënten te kunnen bepalen herschrijven we laatste reeks:

\[\sum_{n=2}^{\infty}n(n-1)c_nx^{n-1}+\sum_{n=1}^{\infty}nc_nx^{n-1}+\sum_{n=2}^{\infty}c_{n-2}x^{n-1}=0\quad\Longrightarrow\quad c_1=0\;\;\text{en}\;\;\sum_{n=2}^{\infty}\left[n(n-1)c_n+nc_n+c_{n-2}\right]x^{n-1}=0.\]

We concluderen dan dat \(c_1=0\) en \(c_n=-\displaystyle\frac{c_{n-2}}{n^2}\) voor \(n=2,3,4,\ldots\). Hieruit volgt dat \(c_{2n+1}=0\) voor \(n=1,2,3,\ldots\) en

\[c_{2n}=-\frac{c_{2n-2}}{(2n)^2}=\frac{c_{2n-4}}{(2n)^2(2n-2)^2}=\cdots=\frac{(-1)^n}{(2n)^2(2n-2)^2\cdots2^2}c_0=\frac{(-1)^n}{2^{2n}(n!)^2}c_0,\quad n=1,2,3,\ldots.\]

Dit leidt tot de oplossing \(y=c_0\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2^{2n}(n!)^2}x^{2n}=c_0J_0(x)\), waarbij \(J_0(x)\) de Besselfunctie van de eerste soort van de orde \(0\) is.

Voorbeeld: Bepaal een oplossing van \(y''-2xy'+4y=0\).

Oplossing: Substitutie van \(y=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}c_nx^n\), \(y'=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}nc_nx^{n-1}\) en \(y''=\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}n(n-1)c_nx^{n-2}\) geeft

\[\sum_{n=2}^{\infty}n(n-1)c_nx^{n-2}-2x\sum_{n=1}^{\infty}nc_nx^{n-1}+4\sum_{n=0}^{\infty}c_nx^n=0\quad\Longleftrightarrow\quad \sum_{n=0}^{\infty}(n+2)(n+1)c_{n+2}x^n-2\sum_{n=0}^{\infty}nc_nx^n+4\sum_{n=0}^{\infty}c_nx^n=0.\]

Dit leidt tot de recurrente betrekking

\[(n+2)(n+1)c_{n+2}-(2n-4)c_n=0,\quad n=0,1,2,\ldots\quad\Longrightarrow\quad c_{n+2}=\frac{2(n-2)}{(n+1)(n+2)}c_n,\quad n=0,1,2,\ldots.\]

Door nu achtereenvolgens \(n=0,1,2,\ldots\) te nemen, volgt:

\[\begin{array}{llll} n=0: & c_2=\displaystyle\frac{-4}{1\cdot2}c_0=-2c_0 &{}\hspace{25mm}n=1: & c_3=\displaystyle\frac{-2}{2\cdot3}c_1=-\frac{1}{3}c_1\\[5mm] n=2: & c_4=0 &{}\hspace{25mm}n=3: & c_5=\displaystyle\frac{2}{4\cdot5}c_3=\frac{1}{10}c_3=-\frac{1}{30}c_1\\[5mm] n=4: & c_6=0 &{}\hspace{25mm}n=5: & c_7=\displaystyle\frac{6}{6\cdot7}c_5=\frac{1}{7}c_5=\frac{1}{210}c_1 \end{array}\]

enzovoort. Hieruit volgt dat \(c_{2n}=0\) voor \(n=2,3,4,\ldots\) en dus geldt:

\[y=\sum_{n=0}^{\infty}c_nx^n=\sum_{n=0}^{\infty}c_{2n}x^{2n}+\sum_{n=0}^{\infty}c_{2n+1}x^{2n+1}=c_0\left(1-2x^2\right) +c_1\left(x-\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{30}x^5-\frac{1}{210}x^7-\cdots\right),\quad c_0,c_1\in\mathbb{R}.\]

Merk op dat \(p(x)=1-2x^2\) een polynoomoplossing is. Dit kan eenvoudige worden gechecked, want: \(p'(x)=-4x\) en \(p''(x)=-4\). Hieruit volgt dat

\[p''(x)-2xp'(x)+4p(x)=-4+8x^2+4(1-2x^2)=0.\]

Het is niet onmogelijk om een expliciete formule voor de coëfficiënten van de tweede oplossing te vinden:

\[c_{2n+1}=\frac{2(2n-3)}{2n(2n+1)}c_{2n-1}=\frac{2n-3}{n(2n+1)}\cdot\frac{2n-5}{(n-1)(2n-1)}\cdots\frac{1}{2\cdot5}\cdot\frac{-1}{1\cdot3}c_1 =\frac{(-1)\cdot1}{n!(2n-1)(2n+1)}c_1=-\frac{1}{(4n^2-1)n!}c_1\]

voor \(n=1,2,3,\ldots\). Hieruit volgt dat de tweede oplossing is \(y=x-\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{2n+1}}{(4n^2-1)n!}\).

Voorbeeld: Los \((1-x^2)y''-4xy'-2y=0\) op.

Oplossing: Substitutie van \(y=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}c_nx^n\), \(y'=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}nc_nx^{n-1}\) en \(y''=\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}n(n-1)c_nx^{n-2}\) geeft

\[(1-x^2)\sum_{n=2}^{\infty}n(n-1)c_nx^{n-2}-4x\sum_{n=1}^{\infty}nc_nx^{n-1}-2\sum_{n=0}^{\infty}c_nx^n=0\;\;\Longleftrightarrow\;\; \sum_{n=0}^{\infty}(n+2)(n+1)c_{n+2}x^n-\sum_{n=0}^{\infty}\left[n(n-1)+4n+2\right]x^n=0.\]

Dit leidt tot de recurrente betrekking

\[(n+2)(n+1)c_{n+2}-(n^2+3n+2)c_n=0,\quad n=0,1,2,\ldots\quad\Longrightarrow\quad c_{n+2}=\frac{(n+1)(n+2)}{(n+1)(n+2)}c_n=c_n,\quad n=0,1,2,\ldots.\]

Dus geldt: \(y=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}c_nx^n=c_0\sum_{n=0}^{\infty}x^{2n}+c_1\sum_{n=0}^{\infty}x^{2n+1}\). Voor \(|x| < 1\) geldt: \(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}x^{2n}=\frac{1}{1-x^2}\) en \(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}x^{2n+1}=\frac{x}{1-x^2}\).

Directe substitutie laat zien dat deze oplossingen \(p(x)=\displaystyle\frac{1}{1-x^2}\) en \(q(x)=\displaystyle\frac{x}{1-x^2}\) ook geldig zijn voor \(|x| > 1\). Merk op dat \(p'(x)=\displaystyle\frac{2x}{(1-x^2)^2}\) en \(p''(x)=\displaystyle\frac{2+6x^2}{(1-x^2)^3}\), waaruit volgt dat \((1-x^2)p''(x)-4xp'(x)-2p(x)=\displaystyle\frac{2+6x^2}{(1-x^2)^2}-\frac{8x^2}{(1-x^2)^2}-\frac{2}{1-x^2}=0\). Evenzo geldt dat \(q'(x)=\displaystyle\frac{1+x^2}{(1-x^2)^2}\) en \(q''(x)=\displaystyle\frac{6x+2x^3}{(1-x^2)^3}\), en dus \((1-x^2)q''(x)-4xq'(x)-2q(x)=\displaystyle\frac{6x+2x^3}{(1-x^2)^2}-\frac{4x+4x^3}{(1-x^2)^2}-\frac{2x}{1-x^2}=0\).

---

Laatst gewijzigd op 15 maart 2021