Analyse – Rijen en reeksen – Rijen

Definitie: Een rij \(\{a_n\}_{n=1}^{\infty}\) is een geordende lijst van getallen: \(a_1,a_2,a_3,\ldots\).

Voorbeelden:

1. \(1,2,3,4,5,\ldots\) is de rij van positieve gehele getallen \(\{a_n\}_{n=1}^{\infty}\) met \(a_n=n\) voor \(n=1,2,3,\ldots\).


2. \(1,\frac{1}{4},\frac{1}{9},\frac{1}{16},\frac{1}{25},\ldots\) is de rij \(\{a_n\}_{n=1}^{\infty}\) met \(a_n=\displaystyle\frac{1}{n^2}\) voor \(n=1,2,3,\ldots\).


3. \(\frac{1}{2},\frac{2}{5},\frac{3}{10},\frac{4}{17},\frac{5}{26},\ldots\) is de rij \(\{a_n\}_{n=1}^{\infty}\) met \(a_n=\displaystyle\frac{n}{n^2+1}\) voor \(n=1,2,3,\ldots\).


4. \(1,-\frac{1}{2},\frac{1}{4},-\frac{1}{8},\frac{1}{16},-\frac{1}{32},\ldots\) is de rij \(\{a_n\}_{n=0}^{\infty}\) met \(a_n=\displaystyle\frac{(-1)^n}{2^n}\) voor \(n=0,1,2,\ldots\).


5. De rij \(\{a_n\}_{n=1}^{\infty}\) gedefinieerd door \(a_{n+2}=a_n+a_{n+1}\) met \(n=1,2,3,\ldots\) en \(a_1=a_2=1\) heet de rij van Fibonacci:
\[1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,\ldots.\]

Definitie: Een rij \(\{a_n\}_{n=1}^{\infty}\) heet convergent als \(\lim\limits_{n\to\infty}a_n\) bestaat. Anders heet de rij divergent.

Stelling: Als \(\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=L\) en \(f(n)=a_n\) voor \(n=1,2,3,\ldots\), dan is \(\lim\limits_{n\to\infty}a_n=L\).

Stelling: Als \(\lim\limits_{n\to\infty}|a_n|=0\), dan is \(\lim\limits_{n\to\infty}a_n=0\).

We kunnen dit bewijzen met behulp van de insluitstelling omdat geldt dat \(-|a_n|\leq a_n\leq|a_n|\) voor alle \(n\).

Stelling: Als \(\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=L\) en de functie \(\) is continu in \(L\), dan is \(\lim\limits_{n\to\infty}f(a_n)=f(L)\).

Definitie: Een rij \(\{a_n\}_{n=1}^{\infty}\) heet stijgend als \(a_n < a_{n+1}\) voor alle \(n\geq1\), dat wil zeggen dat \(a_1 < a_2 < a_3 <\cdots\).
Deze heet dalend als \(a_n>a_{n+1}\) voor alle \(n\geq1\) dat wil zeggen dat \(a_1 > a_2 > a_3 >\cdots\).
Een rij heet monotoon als deze óf stijgend óf dalend is.

In het geval dat \(a_n\leq a_{n+1}\) voor alle \(n\geq1\) wordt de rij soms niet-dalend genoemd en als \(a_n\geq a_{n+1}\) voor alle \(n\) dan wel niet-stijgend.

Definitie: Een rij \(\{a_n\}_{n=1}^{\infty}\) heet naar boven begrensd als er een getal \(M\) bestaat zodat \(a_n\leq M\) voor alle \(n\geq1\).
Deze heet naar beneden begrensd als er een getal \(m\) bestaat zodat \(m\leq a_n\) voor alle \(n\geq1\).
Een rij heet begrensd als deze zowel naar boven begrensd en naar beneden begrensd is.

Stelling: Elke stijgende rij, die naar boven begrensd is, is convergent en elke dalende rij, die naar beneden begrensd is, is convergent.

Voorbeelden

Stewart §11.1, Voorbeeld 14
Beschouw de rij \(\{a_n\}_{n=1}^{\infty}\) gedefinieerd door de recurrente betrekking \(a_1=2\) en \(a_{n+1}=\frac{1}{2}(a_n+6)\) voor \(n=1,2,3,\ldots\).

Met behulp van het principe van volledige inductie kunnen we bewijzen dat de rij stijgend is en naar boven begrensd.

Merk op dat \(a_2=\frac{1}{2}(a_1+6)=\frac{1}{2}(2+6)=4>2=a_1\). Neem aan dat \(a_{n+1} > a_n\) voor een zekere waarde van \(n\), dan volgt:

\[a_{n+2}=\frac{1}{2}(a_{n+1}+6) > \frac{1}{2}(a_n+6)=a_{n+1}.\]

Dit bewijst dat de rij stijgend is.

Laten we nu aantonen dat de rij naar boven wordt begrensd door \(6\). Het is duidelijk dat \(a_1=2\leq6\). Neem aan dat \(a_n\leq6\) voor een zekere waarde van \(n\), dan volgt:

\[a_{n+1}=\frac{1}{2}(a_n+6)\leq\frac{1}{2}(6+6)=6.\]

Dit bewijst dat de rij naar boven begrensd is.

Omdat \(\{a_n\}\) een stijgende rij is die naar boven begrensd is, bestaat dus de limiet \(\lim\limits_{n\to\infty}a_n=L\). Dan geldt:

\[\lim\limits_{n\to\infty}a_{n+1}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{2}(a_n+6)=\frac{1}{2}\left(\lim\limits_{n\to\infty}a_n+6\right)=\frac{1}{2}\left(L+6\right).\]

Omdat \(\lim\limits_{n\to\infty}a_n=L\) volgt dat ook \(\lim\limits_{n\to\infty}a_{n+1}=L\). Dus geldt: \(L=\frac{1}{2}(L+6)\). Hieruit volgt dat \(2L=L+6\) oftewel \(L=6\).

Stewart §11.1, Opgave 79
Beschouw de rij \(\left\{\sqrt{2},\sqrt{2\sqrt{2}},\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2}}},\ldots\right\}\). Merk op dat \(a_1=\sqrt{2}\) en \(a_{n+1}=\sqrt{2a_n}\) voor \(n=1,2,3,\ldots\).

Dan geldt: \(a_2=\sqrt{2a_1}=\sqrt{2\sqrt{2}} > \sqrt{2}=a_1\). Als we aannemen dat \(a_{n+1} > a_n\) voor een zekere waarde van \(n\), dan volgt:

\[a_{n+2}=\sqrt{2a_{n+1}} > \sqrt{2a_n}=a_{n+1}.\]

Dit bewijst dat de rij stijgend is.

Laten we nu aantonen dat de rij naar boven begrensd is door \(2\). Het is duidelijk dat \(a_1=\sqrt{2}\leq2\). Neem aan dat \(a_n\leq2\) voor een zekere waarde van \(n\), dan volgt:

\[a_{n+1}=\sqrt{2a_n}\leq\sqrt{2\cdot2}=2.\]

Dit bewijst dat de rij naar boven begrensd is.

Omdat \(\{a_n\}\) een stijgende rij si die naar boven begrensd is, bestaat de limiet \(\lim\limits_{n\to\infty}a_n=L\). Dan geldt:

\[L=\sqrt{2L}\quad\Longrightarrow\quad L^2=2L\quad\Longrightarrow\quad L=0\;\;\text{of}\;\;L=2.\]

Omdat \(a_1=\sqrt{2}>0\) en de rij is stijgend, concluderen we dat \(L=2\).

Stewart §11.1, Opgave 80
Beschouw de rij \(\left\{\sqrt{2},\sqrt{2+\sqrt{2}},\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}},\ldots\right\}\). Merk op dat \(a_1=\sqrt{2}\) en \(a_{n+1}=\sqrt{2+a_n}\) voor \(n=1,2,3,\ldots\).

Dan geldt: \(a_2=\sqrt{2+a_1}=\sqrt{2+\sqrt{2}} > \sqrt{2}=a_1\). Als we aannemen dat \(a_{n+1} > a_n\) voor een zekere van \(n\), dan volgt:

\[a_{n+2}=\sqrt{2+a_{n+1}} > \sqrt{2+a_n}=a_{n+1}.\]

Dit bewijst dat de rij stijgend is.

Laten we nu aantonen dat de rij naar boven begrensd is door \(2\). Het is duidelijk dat \(a_1=\sqrt{2}\leq2\). Neem aan dat \(a_n\leq2\) voor een zekere waarde van \(n\), dan volgt:

\[a_{n+1}=\sqrt{2+a_n}\leq\sqrt{2+2}=2.\]

Dit bewijst dat de rij naar boven begrensd is.

Omdat \(\{a_n\}\) een stijgende rij is die naar boven begrens is, bestaat de limiet \(\lim\limits_{n\to\infty}a_n=L\). Dan geldt:

\[L=\sqrt{2+L}\quad\Longrightarrow\quad L^2=2+L\quad\Longrightarrow\quad L=-1\;\;\text{or}\;\;L=2.\]

Omdat \(a_1=\sqrt{2}>0\) en de rij is stijgend, concluderen we dat \(L=2\).

---

Laatst gewijzigd op 15 maart 2021