Analyse – Rijen en reeksen – Opmerkelijke decimale ontwikkelingen

Als een voorbeeld van een meetkundige reeks hadden we al gezien dat \(0.\overline{1}=0.11111\ldots=\dfrac{1}{9}\). Dat kan ook eenvoudiger:

\[x=0.\overline{1}\quad\Longrightarrow\quad 10x=1.\overline{1}=1+0.\overline{1}=1+x\quad\Longrightarrow\quad 9x=1 \quad\Longrightarrow\quad x=\frac{1}{9}.\]

Stewart §11.2, Opgave 49
Beschouw het getal \(x=0.\overline{9}=0.99999\ldots\), dan volgt dat \(10x=9,\overline{9}=9+0.\overline{9}=9+x\) en dus: \(9x=9\) oftewel \(x=1\).

Dit kan natuurlijk ook via een meetkundige reeks: \(x=\displaystyle\frac{9}{10}+\frac{9}{100}+\frac{9}{1000}+\cdots=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{9}{10^n}\). Dit is een meetkundige reeks met reden \(r=\displaystyle\frac{1}{10}\).
Omdat \(|r| < 1\) is deze reeks convergent en de som is \(\displaystyle\frac{\text{eerste term}}{1-\text{reden}}=\frac{\frac{9}{10}}{1-\frac{1}{10}}=1\).

Nu gaan we bewijzen dat \(\displaystyle\frac{1}{81}=\frac{1}{9^2}=0.\overline{012345679}\).

We beginnen met de meetkundige reeks \(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}x^n=\frac{1}{1-x}\) voor \(|x| < 1\). Differentiëren leidt tot \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}nx^{n-1}=\frac{1}{(1-x)^2}\) voor \(|x| < 1\). Hieruit volgt dat \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}nx^{n+1}=\frac{x^2}{(1-x)^2}=\left(\frac{x}{1-x}\right)^2\) voor \(|x| < 1\). Substitutie van \(x=\displaystyle\frac{1}{10}\) leidt tot \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{10^{n+1}}=\left(\frac{1}{9}\right)^2=\frac{1}{81}\).

Voor de eerste negen termen volgt nu

\[\sum_{n=1}^9\frac{n}{10^{n+1}}=0.01+0.002+0.0003+\cdots+0.0000000009=0.0123456789.\]

Voor de tiende term geldt: \(\displaystyle\frac{10}{10^{11}}=\frac{1}{10^{10}}=0.0000000001\). Dus:

\[\sum_{n=1}^{10}\frac{n}{10^{n+1}}=0.0123456789+0.0000000001=0.0123456790.\]

Stel nu \(p=0.\overline{012345679}\), dan volgt:

\[10^9p=12345679.\overline{012345679}=12345679+0.\overline{012345679}=12345679+p.\]

Omdat geldt dat \(10^9-1=999999999=9^2\cdot12345679\), volgt hieruit dat

\[(10^9-1)p=12345679\quad\Longleftrightarrow\quad9^2\cdot12345679p=12345679\quad\Longleftrightarrow\quad p=\frac{1}{9^2}=\frac{1}{81}.\]

Evenzo volgt met de substitutie \(x=\displaystyle\frac{1}{100}\) dat \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{100^{n+1}}=\left(\frac{1}{99}\right)^2=\frac{1}{9801}\).

Voor de eerste negenennegentig termen volgt nu

\[\sum_{n=1}^{99}\frac{n}{100^{n+1}}=0.0001020304\ldots9596979899.\]

Voor de honderdste term geldt: \(\displaystyle\frac{100}{100^{101}}=\frac{1}{100^{100}}\). Dus:

\[\sum_{n=1}^{100}\frac{n}{100^{n+1}}=0.0001020304\ldots9596979900.\]

Stel nu \(q=0.\overline{0001020304\ldots95969799}\), dan volgt:

\[100^{99}q=1020304\ldots95969799.\overline{0001020304\ldots95969799}=1020304\ldots95969799+q.\]

Omdat geldt dat \(100^{99}-1=99^2\cdot1020304\ldots95969799\), volgt hieruit dat

\[(100^{99}-1)q=1020304\ldots95969799\quad\Longleftrightarrow\quad99^2\cdot1020304\ldots95969799q=1020304\ldots95969799 \quad\Longleftrightarrow\quad q=\frac{1}{99^2}=\frac{1}{9801}.\]

Evenzo volgt dat

\[\frac{1}{998001}=\frac{1}{999^2}=0.\overline{00001002003004\ldots995996997999},\] \[\frac{1}{99980001}=\frac{1}{9999^2}=0.\overline{000001000200030004\ldots9995999699979999},\] \[\frac{1}{9999800001}=\frac{1}{99999^2}=0.\overline{0000001000020000300004\ldots99995999969999799999}\]

enzovoort.

---

Laatst gewijzigd op 15 maart 2021