Analyse – Rijen en reeksen – Eindige sommen en volledige inductie

Principe van volledige inductie

Laat \(S_n\) een bewering zijn over een positief geheel getal \(n\). Neem aan dat

1. \(S_1\) waar is,


2. \(S_{k+1}\) waar is als \(S_k\) waar is.

Dan is \(S_n\) waar voor alle positieve gehele getallen \(n\).

Voorbeelden

1) \(\displaystyle\sum_{k=1}^nk=\tfrac{1}{2}n(n+1)\) voor alle \(n\in\{1,2,3,\ldots\}\).

Voor \(n=1\) is de bewering waar: \(1=\frac{1}{2}\cdot1\cdot2\). Als we aannemen dat de bewering waar is voor een zekere waarde van \(n\), dan volgt

\[\sum_{k=1}^{n+1}k=\sum_{k=1}^nk+(n+1)=\frac{1}{2}n(n+1)+(n+1)=\frac{1}{2}(n+1)(n+2).\]

Omdat dit precies de formule is met \(n\) vervangen door \(n+1\), bewijst dit de bewering voor alle \(n\in\{1,2,3,\ldots\}\).

2) \(\displaystyle\sum_{k=1}^nk^2=\tfrac{1}{6}n(n+1)(2n+1)\) voor alle \(n\in\{1,2,3,\ldots\}\).

Voor \(n=1\) is dit: \(1=\frac{1}{6}\cdot1\cdot2\cdot3\) en dat is waar. Als we aannemen dat de bewering waar is voor een zekere waarde van \(n\), dan volgt

\begin{align*} \sum_{k=1}^{n+1}k^2&=\sum_{k=1}^nk^2+(n+1)^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)+(n+1)^2=\frac{1}{6}(n+1)\left\{n(2n+1)+6(n+1)\right\}\\[2.5mm] &=\frac{1}{6}(n+1)(2n^2+7n+6)=\frac{1}{6}(n+1)(n+2)(2n+3). \end{align*}

Omdat dit precies de formule is met \(n\) vervangen door \(n+1\), bewijst dit de bewering voor alle \(n\in\{1,2,3,\ldots\}\).

3) \(\displaystyle\sum_{k=1}^nk^3=\left(\sum_{k=1}^nk\right)^2=\tfrac{1}{4}n^2(n+1)^2\) voor alle \(n\in\{1,2,3,\ldots\}\).

Voor \(n=1\) is dit: \(1=\frac{1}{4}\cdot1^2\cdot2^2\) en dat is waar. Als we aannemen dat de bwering waar is voor een zekere waarde van \(n\), dan volgt

\begin{align*} \sum_{k=1}^{n+1}k^3&=\sum_{k=1}^nk^3+(n+1)^3=\frac{1}{4}n^2(n+1)^2+(n+1)^3=\frac{1}{4}(n+1)^2\left\{n^2+4(n+1)\right\}\\[2.5mm] &=\frac{1}{4}(n+1)^2(n^2+4n+4)=\frac{1}{4}(n+1)^2(n+2)^2. \end{align*}

Omdat dit precies de formule is met \(n\) vervangen door \(n+1\), bewijst dit de bwering voor alle \(n\in\{1,2,3,\ldots\}\).

Nog een interessant resultaat is: \(\displaystyle\sum_{k=n^2+1}^{(n+1)^2}k=n^3+(n+1)^3\) voor alle \(n\in\{1,2,3,\ldots\}\).

Dit kan rechtstreeks worden aangetoond: merk op dat de som \(2n+1\) termen heeft, dus geldt

\[\sum_{k=n^2+1}^{(n+1)^2}k=\frac{1}{2}(2n+1)\left\{n^2+1+(n+1)^2\right\}=(2n+1)(n^2+n+1)=2n^3+3n^2+3n+1=n^3+(n+1)^3.\]

---

Laatst gewijzigd op 15 maart 2021