Analyse – Rijen en reeksen – De driehoek van Pascal en de binomiaalstelling

De driehoek van Pascal is een driehoekig schema van binomiaalcoëfficiënten:

\[\begin{array}{ccccccccccccccc} &&&&&&& 1\\[2.5mm] &&&&&& 1 && 1\\[2.5mm] &&&&& 1 && 2 && 1\\[2.5mm] &&&& 1 && 3 && 3 && 1\\[2.5mm] &&& 1 && 4 && 6 && 4 && 1\\[2.5mm] && 1 && 5 && 10 && 10 && 5 && 1\\[2.5mm] & 1 && 6 && 15 && 20 && 15 && 6 && 1\\[2.5mm] 1 && 7 && 21 && 35 && 35 && 21 && 7 && 1 \end{array}\]

In de driehoek van Pascal is elk getal de som van de twee getallen direct erboven. De driehoek kan verder worden uitgebreid door er rijen onderaan toe te voegen met hetzelfde patroon. In termen van binomiaalcoëfficiënten\({}^{(*)}\) kan deze eigenschap worden geschreven als

\[\binom{n}{k}=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k},\quad k=1,2,3,\ldots,n\]

voor positieve gehele getallen \(n\).

Bewijs:
\begin{align*} \binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}&=\frac{(n-1)!}{(k-1)!\,(n-k)!}+\frac{(n-1)!}{k!\,(n-k-1)!}=\frac{(n-1)!}{k!\,(n-k)!}\left[k+(n-k)\right]\\[2.5mm] &=\frac{n\,(n-1)!}{k!\,(n-k)!}=\frac{n!}{k!\,(n-k)!}=\binom{n}{k}. \end{align*}

De binomiaalstelling luidt nu: \(\displaystyle(a+b)^n=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}a^{n-k}b^k=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}a^kb^{n-k}\).

Bewijs:
Met volledige inductie: voor \(n=0\) staat er \((a+b)^0=1=\displaystyle\binom{0}{0}a^0b^0\) en dat is per definitie waar. Neem aan dat de formule waar is voor een zekere waarde van \(n\), dan geldt:

\begin{align*} (a+b)^{n+1}&=(a+b)(a+b)^n=(a+b)\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}a^{n-k}b^k=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}a^{n-k+1}b^k+\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}a^{n-k}b^{k+1}\\[2.5mm] &=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}a^{n-k+1}b^k+\sum_{k=1}^{n+1}\binom{n}{k-1}a^{n-k+1}b^k=a^{n+1}+\sum_{k=1}^n\left\{\binom{n}{k}+\binom{n}{k-1}\right\}a^{n-k+1}b^k+b^{n+1}\\[2.5mm] &=a^{n+1}+\sum_{k=1}^n\binom{n+1}{k}a^{n+1-k}b^k+b^{n+1}=\sum_{k=0}^{n+1}\binom{n+1}{k}a^{n+1-k}b^k. \end{align*}

Hieruit volgt dat \((a+b)^0=1\), \((a+b)^1=a+b\), \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\), \((a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\), enzovoort.

Voorbeeld: \((1+x)^7=1+7x+21x^2+35x^3+35x^4+21x^5+7x^6+x^7\).

De Fibonaccigetallen verschijnen alsvolgt in de driehoek van Pascal:

Dit kan geschreven worden als \(F_n=\displaystyle\sum_{k=0}^{\lfloor\frac{n-1}{2}\rfloor}\binom{n-k-1}{k}\) voor \(n=1,2,3,\ldots\). Hierbij is \(\lfloor{\alpha}\rfloor\) het grootste gehele getal kleiner dan of gelijk aan \(\alpha\). Dit is equivalent met

\[F_{2n-1}=\sum_{k=0}^{n-1}\binom{2n-k-2}{k}\quad\text{en}\quad F_{2n}=\sum_{k=0}^n\binom{2n-k-1}{k},\quad n=1,2,3,\ldots.\]

Het bewijs is met volledige inductie. Voor \(n=1\) geldt dat \(F_1=\displaystyle\binom{0}{0}=1\) en \(F_2=\displaystyle\sum_{k=0}^1\binom{1-k}{k}=\binom{1}{0}+\binom{0}{1}=1\). Nu nemen we aan dat \(F_{2n-1}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}\binom{2n-k-2}{k}\) en \(F_{2n}=\displaystyle\sum_{k=0}^n\binom{2n-k-1}{k}\) voor een zekere waarde van \(n\), dan volgt \[\sum_{k=0}^n\binom{2n-k}{k}=1+\sum_{k=1}^n\binom{2n-k-1}{k}+\sum_{k=1}^n\binom{2n-k-1}{k-1} =\sum_{k=0}^n\binom{2n-k-1}{k}+\sum_{k=0}^{n-1}\binom{2n-k-2}{k}=F_{2n}+F_{2n-1}=F_{2n+1}\]

en

\[\sum_{k=0}^{n+1}\binom{2n-k+1}{k}=1+\sum_{k=1}^{n+1}\binom{2n-k}{k}+\sum_{k=1}^{n+1}\binom{2n-k}{k-1} =\sum_{k=0}^{n+1}\binom{2n-k}{k}+\sum_{k=0}^n\binom{2n-k-1}{k}=F_{2n+1}+F_{2n}=F_{2n+2}.\]

Ook geldt dat \(F_{m+2n}=\displaystyle\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}F_{m+k}\) voor \(n=1,2,3,\ldots\).

Het bewijs is met volledige inductie. Voor \(n=1\) geldt: \(F_{m+2}=\displaystyle\sum_{k=0}^1\binom{1}{k}F_{m+k}=F_m+F_{m+1}\) en dat klopt. Neem nu aan dat \(F_{m+2n}=\displaystyle\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}F_{m+k}\) voor een zekere waarde van \(n\). Dan volgt

\[\sum_{k=0}^{n+1}\binom{n+1}{k}F_{m+k}=F_m+\sum_{k=1}^{n+1}\left\{\binom{n}{k}+\binom{n}{k-1}\right\}F_{m+k} =\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}F_{m+k}+\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}F_{m+k+1}=F_{m+2n}+F_{m+2n+1}=F_{m+2n+2}.\] Het speciale geval \(m=0\) geeft: \(F_{2n}=\displaystyle\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}F_k\).

---

\({}^{(*)}\) Als we faculteiten definiëren als \(0!=1\) en \(n!=n(n-1)!\) voor \(n=1,2,3,\ldots\), dan wordt de binomiaalcoëfficiënt \(\displaystyle\binom{n}{k}\) gedefinieerd als

\[\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}.\]

---

Laatst gewijzigd op 22 maart 2021