Analyse – Vectoranalyse – Rotatie en divergentie

De rotatie van een vectorveld

Definitie: Als \(\mathbf{F}=P\,\mathbf{i}+Q\,\mathbf{j}+R\,\mathbf{k}\) een vectorveld op \(\mathbb{R}^3\) is en de partiële afgeleiden van \(P\), \(Q\) en \(R\) bestaan allemaal, dan is de rotatie van \(\mathbf{F}\) het vectorveld op \(\mathbb{R}^3\) gedefinieerd door

\[\textrm{rot}\,\mathbf{F}=\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right)\,\mathbf{i} +\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right)\,\mathbf{j} +\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\,\mathbf{k}.\]

De vectordifferentiaaloperator \(\nabla\)

Definitie: De vectordifferentiaaloperator \(\nabla\) wordt gedefinieerd door

\[\nabla=\frac{\partial}{\partial x}\,\mathbf{i}+\frac{\partial}{\partial y}\,\mathbf{j}+\frac{\partial}{\partial z}\,\mathbf{k}.\]

Toegepast op een scalaire functie \(f\) van drie variabelen produceert het de gradient(vector) van \(f\):

\[\nabla f=\frac{\partial f}{\partial x}\,\mathbf{i}+\frac{\partial f}{\partial y}\,\mathbf{j}+\frac{\partial f}{\partial z}\,\mathbf{k}.\]

Voor de rotatie van een vectorveld \(\mathbf{F}\) geldt nu: \(\textrm{rot}\,\mathbf{F}=\nabla\times\mathbf{F}\).

Stewart §16.5, Voorbeeld 1
Als \(\mathbf{F}(x,y,z)=xz\,\mathbf{i}+xyz\,\mathbf{j}-y^2\,\mathbf{k}\), bepaal dan \(\textrm{rot}\,\mathbf{F}\).

Oplossing: Met behulp van de definitie volgt

\begin{align*} \textrm{rot}\,\mathbf{F}=\nabla\times\mathbf{F} &=\left(\frac{\partial}{\partial y}(-y^2)-\frac{\partial}{\partial z}(xyz)\right)\,\mathbf{i} -\left(\frac{\partial}{\partial x}(-y^2)-\frac{\partial}{\partial z}(xz)\right)\,\mathbf{j} +\left(\frac{\partial}{\partial x}(xyz)-\frac{\partial}{\partial y}(xz)\right)\,\mathbf{k}\\[2.5mm] &=(-2y-xy)\,\mathbf{i}-(0-x)\,\mathbf{j}+(yz-0)\,\mathbf{k}=-y(2+x)\,\mathbf{i}+x\,\mathbf{j}+yz\,\mathbf{k}. \end{align*}

De rotatie van een conservatief vectorveld

Stelling: Als \(f\) een functie is van drie variabelen die continue tweede-orde partiële afgeleiden heeft, dan is: \(\textrm{rot}\left(\nabla f\right)=\mathbf{0}\).

Bewijs: Er geldt

\begin{align*} \textrm{rot}\left(\nabla f\right)=\nabla\times\left(\nabla f\right) &=\left(\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial z}\right)-\frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)\right)\,\mathbf{i} -\left(\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial z}\right)-\frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)\right)\,\mathbf{j} +\left(\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)-\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)\right)\,\mathbf{k}\\[2.5mm] &=\left(\frac{\partial^2f}{\partial y\,\partial x}-\frac{\partial^2f}{\partial x\,\partial y}\right)\,\mathbf{i} -\left(\frac{\partial^2f}{\partial x\,\partial z}-\frac{\partial^2f}{\partial z\,\partial x}\right)\,\mathbf{j} +\left(\frac{\partial^2f}{\partial x\,\partial y}-\frac{\partial^2f}{\partial y\,\partial x}\right)\,\mathbf{k} =0\,\mathbf{i}-0\,\mathbf{j}+0\,\mathbf{k}=\mathbf{0} \end{align*}

vanwege de stelling van Clairaut.

Een vectorveld \(\mathbf{F}\) heet conservatief als er een potentiaalfunctie \(f\) bestaat zodat \(\mathbf{F}=\nabla f\).

Er geldt: als \(\mathbf{F}\) conservatief is, dan is \(\textrm{rot}\,\mathbf{F}=\mathbf{0}\).

Hieruit volgt: als \(\textrm{rot}\,\mathbf{F}\neq\mathbf{0}\), dan kan \(\mathbf{F}\) niet conservatief zijn.

Stewart §16.5, Voorbeeld 2
Toon aan dat het vectorveld \(\mathbf{F}(x,y,z)=xz\,\mathbf{i}+xyz\,\mathbf{j}-y^2\,\mathbf{k}\) niet conservatief is.

Oplossing: In het vorige voorbeeld hebben we aangetoond dat

\[\textrm{rot}\,\mathbf{F}=-y(2+x)\,\mathbf{i}+x\,\mathbf{j}+yz\,\mathbf{k}.\]

Dit bewijst dat \(\textrm{rot}\,\mathbf{F}\neq\mathbf{0}\), waaruit volgt dat \(\mathbf{F}\) niet conservatief is.

Stelling: Als \(\mathbf{F}\) een vectorveld is gedeinieerd op geheel \(\mathbb{R}^3\) waarvan de componentfuncties continue partiële afgeleiden hebben en \(\textrm{rot}\,\mathbf{F}=\mathbf{0}\), dan is \(\mathbf{F}\) een conservatief vectorveld.

Stewart §16.5, Voorbeeld 3
Toon aan dat

\[\mathbf{F}(x,y,z)=y^2z^3\,\mathbf{i}+2xyz^3\,\mathbf{j}+3xy^2z^2\,\mathbf{k}\]

een conservatief vectorveld is en bepaal een potentiaalfunctie \(f\) zodat \(\mathbf{F}=\nabla f\).

Oplossing: Merk op dat

\[\textrm{rot}\,\mathbf{F}=\nabla\times\mathbf{F} =(6xyz^2-6xyz^2)\,\mathbf{i}-(3y^2z^2-3y^2z^2)\,\mathbf{j}+(2yz^3-2yz^3)\,\mathbf{k}=\mathbf{0}.\]

Omdat \(\textrm{rot}\,\mathbf{F}=\mathbf{0}\) en het domein van \(\mathbf{F}\) is \(\mathbb{R}^3\), is het vectorveld \(\mathbf{F}\) conservatief. Voor een potentiaalfunctie \(f\) volgt

\[\left\{\begin{array}{lcl}f_x(x,y,z)=y^2z^3&\Longrightarrow&f(x,y,z)=xy^2z^3+g(y,z)\\[2.5mm] f_y(x,y,z)=2xyz^3&\Longrightarrow&f(x,y,z)=xy^2z^3+h(x,z)\\[2.5mm] f_z(x,y,z)=3xy^2z^2&\Longrightarrow&f(x,y,z)=xy^2z^3+k(x,y).\end{array}\right.\]

We concluderen dat \(f(x,y,z)=xy^2z^3+K\) voor iedere constante \(K\).

Een vectorveld \(\mathbf{F}\) op \(\mathbb{R}^3\) met \(\textrm{rot}\,\mathbf{F}=\mathbf{0}\) in een punt \(P\) heet rotatievrij in \(P\).

De divergentie van een vectorveld

Definitie: Als \(\mathbf{F}=P\,\mathbf{i}+Q\,\mathbf{j}+R\,\mathbf{k}\) een vectorveld op \(\mathbb{R}^3\) is en \(\displaystyle\frac{\partial P}{\partial x}\), \(\displaystyle\frac{\partial Q}{\partial y}\) en \(\displaystyle\frac{\partial R}{\partial z}\) bestaan, dan is de divergentie van \(\mathbf{F}\) de (scalaire) functie van drie variabelen gedefinieerd door

\[\textrm{div}\,\mathbf{F}=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}.\]

Merk op dat \(\textrm{div}\,\mathbf{F}=\nabla\cdot\mathbf{F}\).

Stewart §16.5, Voorbeeld 4
Als \(\mathbf{F}(x,y,z)=xz\,\mathbf{i}+xyz\,\mathbf{j}-y^2\,\mathbf{k}\), bepaal dan \(\textrm{div}\,\mathbf{F}\).

Oplossing: Met behulp van de definitie volgt

\[\textrm{div}\,\mathbf{F}=\nabla\cdot\mathbf{F}=\frac{\partial}{\partial x}(xz)+\frac{\partial}{\partial y}(xyz)+\frac{\partial}{\partial z}(-y^2) =z+xz+0=z(1+x).\]

---

De divergentie van de rotatie van een vectorveld

Stelling: Als \(\mathbf{F}=P\,\mathbf{i}+Q\,\mathbf{j}+R\,\mathbf{k}\) een vectorveld op \(\mathbb{R}^3\) is en \(P\), \(Q\) en \(R\) hebben continue tweede-orde partiële afgeleiden, dan is \(\textrm{div}\,\textrm{rot}\,\mathbf{F}=0\).

Bewijs: Met behulp van de definities van divergentie en rotatie volgt

\begin{align*} \textrm{div}\,\textrm{rot}\,\mathbf{F}=\nabla\cdot\left(\nabla\times\mathbf{F}\right) &=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right) +\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right) +\frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\\[2.5mm] &=\frac{\partial^2R}{\partial x\,\partial y}-\frac{\partial^2Q}{\partial x\,\partial z}+\frac{\partial^2P}{\partial y\,\partial z} -\frac{\partial^2R}{\partial y\,\partial x}+\frac{\partial^2Q}{\partial z\,\partial x}-\frac{\partial^2P}{\partial z\,\partial y}=0 \end{align*}

vanwege de stelling van Clairaut.

Dus:als \(\textrm{div}\,\mathbf{F}\neq0\), dan kan \(\mathbf{F}\) niet de rotatie van een vectorveld zijn.

Als \(\textrm{div}\,\mathbf{F}=0\), dan heet het vectorveld \(\mathbf{F}\) onsamendrukbaar.

Stewart §16.5, Voorbeeld 5
Toon aan dat het vectorveld \(\mathbf{F}(x,y,z)=xz\,\mathbf{i}+xyz\,\mathbf{j}-y^2\,\mathbf{k}\) niet geschreven kan worden als de rotatie van een vectorveld, dat wil zeggen, dat \(\mathbf{F}\neq\textrm{rot}\,\mathbf{G}\).

Oplossing: In het vorige voorbeeld hebben we aangetoond dat \(\textrm{div}\,\mathbf{F}=z(1+x)\neq0\). Dus \(\mathbf{F}\) is niet de rotatie van een ander vectorveld.

De Laplace operator

Een andere differentiaaloperator ontstaat als we de divergentie van een gradiëntvectorveld \(\nabla f\) nemen. Als \(f\) een functie is van drie variabelen, dan geldt:

\[\textrm{div}\left(\nabla f\right)=\nabla\cdot\left(\nabla f\right)=\frac{\partial^2f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2f}{\partial y^2}+\frac{\partial^2f}{\partial z^2}.\]

De operator \(\nabla^2=\nabla\cdot\nabla\) heet de Laplace operator en

\[\nabla^2f=\frac{\partial^2f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2f}{\partial y^2}+\frac{\partial^2f}{\partial z^2}=0\]

heet de Laplace (differentiaal)vergelijking. Zie het vak differentiaalvergelijkingen.

---

Laatst gewijzigd op 14 oktober 2021