Differentiaalvergelijkingen – Partiële differentiaalvergelijkingen – Laplace vergelijking

De tweedimensionale warmte- en golfvergelijking zijn respectievelijk:

\[\alpha^2\left(u_{xx}+u_{yy}\right)=u_t\quad\quad\text{en}\quad\quad a^2\left(u_{xx}+u_{yy}\right)=u_{tt}\quad\quad\text{met}\quad u=u(x,y,t).\]

Driedimensionaal is dit:

\[\alpha^2\left(u_{xx}+u_{yy}+u{zz}\right)=u_t\quad\quad\text{en}\quad\quad a^2\left(u_{xx}+u_{yy}+u_{zz}\right)=u_{tt}\quad\quad\text{met}\quad u=u(x,y,z,t).\]

We beperken ons nu tot de stabiele toestand, waarbij geen verandering in de tijd optreedt, dat wil zeggen: \(u_t=0\). In beide gevallen (warmte- en golfvergelijking) volgt dan:

\[u_{xx}+u_{yy}=0\quad\text{(2-dimensionaal)}\quad\quad\text{of}\quad\quad u_{xx}+u_{yy}+u_{zz}=0\quad\text{(3-dimensionaal)}.\]

Dit heet de Laplace vergelijking of potentiaalvergelijking.

Beschouw nu bijvoorbeeld een Dirichletprobleem voor een rechthoek:

\[\left\{\begin{array}{l}u_{xx}+u_{yy}=0,\quad 0 < x < a,\quad 0 < y < b\\[2.5mm] u(x,0)=f_1(x),\quad u(x,b)=f_2(x),\quad 0 < x < a\\[2.5mm] u(0,y)=g_1(y),\quad u(a,y)=g_2(y),\quad 0 < y < b.\end{array}\right.\]

In het geval van een warmteprobleem beschrijft de functie \(u=u(x,y)\) dan de temperatuur in het punt \((x,y)\) is een dunne metalen plaat, waarvan de dikte te verwaarlozen is, met lengte \(a\) en breedte \(b\). De metalen plaat wordt over het hele oppervlak perfect geïsoleerd. Op de randen wordt dan een temperatuursverdeling aangebracht die wordt bepaald door de functies \(f_1(x)\), \(f_2(x)\), \(g_1(y)\) en \(g_2(y)\).

In plaats hiervan kan men ook kijken naar een Neumannprobleem voor een rechthoek:

\[\left\{\begin{array}{l}u_{xx}+u_{yy}=0,\quad 0 < x < a,\quad 0 < y < b\\[2.5mm] u_y(x,0)=f_1(x),\quad u_y(x,b)=f_2(x),\quad 0 < x < a\\[2.5mm] u_x(0,y)=g_1(y),\quad u_x(a,y)=g_2(y),\quad 0 < y < b.\end{array}\right.\]

Combinaties van een Dirichtlet- en Nuemannprobleem zijn ook mogelijk; bijvoorbeeld als een zijde wordt geïsoleerd en op de andere zijden een warmtebron wordt aangesloten.

Dirichletprobleem voor een rechthoek

Beschouw nu het Dirichletprobleem

\[\left\{\begin{array}{l}u_{xx}+u_{yy}=0,\quad 0 < x < a,\quad 0 < y < b\\[2.5mm] u(x,0)=f(x),\quad u(x,b)=0,\quad 0 < x < a\\[2.5mm] u(0,y)=0,\quad u(a,y)=0,\quad 0 < y < b\end{array}\right.\]

met drie homogene randvoorwaarden en één inhomogene randvoorwaarde.

We gebruiken weer de methode van scheiden van variabelen: stel dat \(u(x,y)=X(x)Y(y)\), dan volgt:

\[u_{xx}+u_{yy}=0\quad\Longleftrightarrow\quad X''(x)Y(y)+X(x)Y''(y)=0.\]

Voor \(u(x,y)=X(x)Y(y)\neq 0\) geldt nu (delen door \(X(x)Y(y)\)): \(\displaystyle\frac{X''(x)}{X(x)}+\frac{Y''(y)}{Y(y)}=0\;\Longleftrightarrow\;\frac{X''(x)}{X(x)}=-\frac{Y''(y)}{Y(y)}\). Het linkerlid hangt alleen van \(x\) af (en niet van \(y\)), terwijl het rechterlid alleen van \(y\) afhangt (en niet van \(x\)). Die kunnen daarom alleen aan elkaar gelijk zijn voor alle \(x\in(0,a)\) en \y\in(0,b)\) als ze constant zijn. Dus:

\[\frac{X''(x)}{X(x)}=-\frac{Y''(y)}{Y(y)}=\sigma\quad(\text{separatieconstante}).\]

Hieruit volgt:

\[X''(x)-\sigma X(x)=0\quad\text{en}\quad Y''(y)+\sigma Y(y)=0.\]

Uit de homogene randvoorwaarden volgt nu (met \(X(x)\neq 0\) en \(Y(y)\neq 0\)):

\[u(x,b)=0:\quad X(x)Y(b)=0\quad\Longrightarrow\quad Y(b)=0,\] \[u(0,y)=0:\quad X(0)Y(y)=0\quad\Longrightarrow\quad X(0)=0\]

en

\[u(a,y)=0:\quad X(a)Y(y)=0\quad\Longrightarrow\quad X(a)=0.\]

Voor \(X(x)\) vinden we dus het homogene randwaardeprobleem:

\[\left\{\begin{array}{l}X''(x)-\sigma X(x)=0,\quad 0 < x < a\\[2.5mm]X(0)=0,\quad X(a)=0.\end{array}\right.\]

Dit is hetzelfde homogene randwaardeprobleem dat we eerder gezien hebben bij de warmte- en de golfvergelijking met eigenwaarden \(\sigma_n=-\displaystyle\frac{n^2\pi^2}{a^2}\) en eigenfuncties \(X_n(x)=\displaystyle\sin\left(\frac{n\pi x}{a}\right)\) met \(n=1,2,3,\ldots\). Voor \(Y(y)\) vinden we nu: \(Y_n''(y)-\displaystyle\frac{n^2\pi^2}{a^2}Y_n(y)=0\) met \(Y_n(b)=0\) met eigenfuncties \(Y_n(y)=\displaystyle\sinh\left(\frac{n\pi(b-y)}{a}\right),\;n=1,2,3,\ldots\). Dus:

\[u_n(x,y)=X_n(x)Y_n(y)=\sin\left(\frac{n\pi x}{a}\right)\sinh\left(\frac{n\pi(b-y)}{a}\right),\quad n=1,2,3,\ldots.\]

Met behulp van het superpositieprincipe volgt dan:

\[u(x,y)=\sum_{n=1}^{\infty}c_nu_n(x,y)=\sum_{n=1}^{\infty}c_n\sin\left(\frac{n\pi x}{a}\right)\sinh\left(\frac{n\pi(b-y)}{a}\right).\]

Nu gebruiken we de inhomogene randvoorwaarde:

\[u(x,0)=f(x)\quad\Longleftrightarrow\quad\sum_{n=1}^{\infty}\sinh\left(\frac{n\pi b}{a}\right)c_n\sin\left(\frac{n\pi x}{a}\right)=f(x).\]

Dit is een Fourier sinusreeks voor \(f(x)\). Met behulp van de Euler-Fourier formules volgt dan:

\[\sinh\left(\frac{n\pi b}{a}\right)c_n=\frac{2}{a}\int_0^af(x)\sin\left(\frac{n\pi x}{a}\right)\,dx,\quad n=1,2,3,\ldots.\]

Een algemener Dirichletprobleem voor een rechthoek kan nu opgesplitst worden in dergelijke problemen met drie homogene randvoorwaarden. Deze kunnen dan op een dergelijke wijze worden opgelost en de som van die oplossingen is dan de oplossing van het algemene Dirichletprobleem.

Dirichletprobleem voor een cirkel

Voor een cirkelvormig domein maken we gebruik van poolcoödinaten: \(\left\{\begin{array}{l}x=r\cos(\theta)\\[2.5mm]y=r\sin(\theta)\end{array}\right.\) met \(r\geq 0\) en \(0\leq\theta < 2\pi\).

De Laplace vergelijking \(u_{xx}+u_{yy}=0\) gaat dan over in: \(\displaystyle u_{rr}+\frac{1}{r}u_r+\frac{1}{r^2}u_{\theta\theta}=0\).

Een Dirichletprobleem voor een cirkel met straal \(R>0\) is dan:

\[\left\{\begin{array}{l}u_{rr}+\frac{1}{r}u_r+\frac{1}{r^2}u_{\theta\theta}=0,\quad 0 < r < R,\quad 0 < \theta < 2\pi\\[2.5mm] u(R,\theta)=f(\theta),\quad 0 \leq\theta < 2\pi.\end{array}\right.\]

We gebruiken weer de methode van scheiden van variabelen: stel dat \(u(r,\theta)=R(r)T(\theta)\), dan volgt:

\[u_{rr}+\frac{1}{r}u_r+\frac{1}{r^2}u_{\theta\theta}=0\quad\Longleftrightarrow\quad R''(r)T(\theta)+\frac{1}{r}R'(r)T(\theta)+\frac{1}{r^2}R(r)T''(\theta)=0.\]

Voor \(u(r,\theta)=R(r)T(\theta)\neq 0\) volgt nu (delen door \(R(r)T(\theta)\)):

\[\frac{R''(r)}{R(r)}+\frac{1}{r}\frac{R'(r)}{R(r)}+\frac{1}{r^2}\frac{T''(\theta)}{T(\theta)}=0\quad\Longleftrightarrow\quad r^2\frac{R''(r)}{R(r)}+r\frac{R'(r)}{R(r)}=-\frac{T''(\theta)}{T(\theta)}=\sigma\quad(\text{separatieconstante}).\]

Hieruit volgt:

\[r^2R''(r)+rR'(r)-\sigma R(r)=0\quad\text{en}\quad T''(\theta)+\sigma T(\theta)=0.\]

Hierbij treden nog enkele (verborgen) randvoorwaarden op: de functie \(T(\theta)\) moet \(2\pi\)-periodiek zijn en de functie \(R(r)\) moet begrensd zijn voor \(r\downarrow 0\).

We onderscheiden drie mogelijkheden: \(\sigma=0\), \(\sigma < 0\) en \(\sigma > 0\):

• \(\sigma=0\): \(T''(\theta)=0\;\Longrightarrow\;T(\theta)=a_1\theta+a_2\). Dit is alleen periodiek als \(a_1=0\). Dus: \(\sigma_0=0\) is een eigenwaarde met eigenfunctie \(T_0(\theta)=1\).


• \(\sigma=-\mu^2 < 0\): \(T''(\theta)-\mu^2T(\theta)=0\;\Longrightarrow\;T(\theta)=b_1\cosh(\mu\theta)+b_2\sinh(\mu\theta)\). Dit is alleen periodiek als \(b_1=b_2=0\) (de triviale oplossing).


• \(\sigma=\mu^2 > 0\): \(T''(\theta)+\mu^2T(\theta)=0\;\Longrightarrow\;T(\theta)=c_1\cos(\mu\theta)+c_2\sin(\mu\theta)\). Dit is alleen \(2\pi\)-periodiek als \(\mu=\pm n\) met \(n\in\{1,2,3,\ldots\}\). Dit leidt tot de eigenwaarden \(\sigma_n=n^2,\;n=1,2,3,\ldots\) en de eigenfuncties \(T_n(\theta)=c_n\cos(n\theta)+k_n\sin(n\theta),\;n=1,2,3,\ldots\).

De differentiaalvergelijking voor \(R(r)\) is een Euler differentiaalvergelijking.

Voor \(\sigma=0\) volgt: \(r^2R''(r)+rR'(r)=0\) met algemene oplossing \(R(r)=c_1+c_2\ln(r)\). Aangezien \(R(r)\) begrensd moet zijn voor \(r\downarrow 0\), volgt dat \(c_2=0\). Een eigenfunctie is dus \(R_0(r)=1\).

Voor \(\sigma=n^2\) volgt: \(r^2R''(r)+rR'(r)-n^2R(r)=0\) met algemene oplossing \(R(r)=k_1r^n+k_2r^{-n}\). Aangezien \(R(r)\) begrensd moet zijn voor \(r\downarrow 0\) volgt dat \(k_2=0\). Eigenfuncties zijn dus \(R_n(r)=r^n\) met \(n=1,2,3,\ldots\).

Dus:

\[u_n(r,\theta)=R_n(r)T_n(\theta)=c_nr^n\cos(n\theta)+k_nr^n\sin(n\theta),\quad n=0,1,2,\ldots.\]

Met behulp van het superpositieprincipe volgt nu:

\[u(r,\theta)=\frac{c_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}r^n\left(c_n\cos(n\theta)+k_n\sin(n\theta)\right).\]

De randvoorwaarde \(r(R,\theta)=f(\theta)\) voor \(0\leq\theta < 2\pi\) leidt dan tot:

\[\frac{c_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}R^n\left(c_n\cos(n\theta)+k_n\sin(n\theta)\right)=f(\theta).\]

Dit is een (gewone) Fourierreeks voor \(f(\theta)\). Merk op dat \(f(\theta)\) gedefinieerd is op het interval \([0,2\pi)\) en dat deze \(2\pi\)-periodiek voortgezet kan worden. Uit de Euler-Fourier formules volgt dan: \(c_0=\displaystyle\frac{1}{\pi}\int_0^{2\pi}f(\theta)\,d\theta\),

\[R^nc_n=\frac{1}{\pi}\int_0^{2\pi}f(\theta)\cos(n\theta)\,d\theta\quad\text{en}\quad R^nk_n=\frac{1}{\pi}\int_0^{2\pi}f(\theta)\sin(n\theta)\,d\theta,\quad n=1,2,3,\ldots.\]

Hiermee is de oplossing gevonden:

\[u(r,\theta)=\frac{c_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}r^n\left(c_n\cos(n\theta)+k_n\sin(n\theta)\right).\]

---

Laatst gewijzigd op 23 augustus 2021