Differentiaalvergelijkingen – Gewone differentiaalvergelijkingen – Euler differentiaalvergelijkingen

Definitie: Een lineaire differentiaalvergelijking van de vorm

\[t^2y''(t)+\alpha ty'(t)+\beta y(t)=0,\quad\alpha,\beta\in\mathbb{R},\quad t>0\]

heet een Euler differentiaalvergelijking.

Met behulp van de substitutie \(t=e^x\) oftewel \(x=\ln(t)\) vinden we:

\[\frac{dy}{dt}=\frac{dy}{dx}\cdot\frac{dx}{dt}=\frac{1}{t}\cdot\frac{dy}{dx}\quad\Longrightarrow\quad t\,\frac{dy}{dt}=\frac{dy}{dx}\]

en

\[\frac{d^2y}{dt^2}=\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{t}\cdot\frac{dy}{dx}\right)=\frac{1}{t}\cdot\frac{d^2y}{dx^2}\cdot\frac{dx}{dt}-\frac{1}{t^2}\cdot\frac{dy}{dx} =\frac{1}{t^2}\left(\frac{d^2y}{dx^2}-\frac{dy}{dx}\right)\quad\Longrightarrow\quad t^2\,\frac{d^2y}{dt^2}=\frac{d^2y}{dx^2}-\frac{dy}{dx}.\]

Hiermee gaat de differentiaalvergelijking \(t^2y''(t)+\alpha ty'(t)+\beta y(t)=0\) dus over in \(Y''(x)+(\alpha-1)Y'(x)+\beta Y(x)=0\), waarbij \(Y(x)=y(t)\).
Dit is een tweede orde lineaire differentiaalvergelijking met constante coëfficiënten en karakteristieke vergelijking \(r^2+(\alpha-1)r+\beta=0\). Deze vinden we door een oplossing van de vorm \(Y(x)=e^{rx}\) te proberen. Dat komt overeen met een oplossing van de vorm \(y(t)=t^r\) van de oorspronkelijke Euler differentiaalvergelijking:

\[r(r-1)+\alpha r+\beta=0\quad\Longleftrightarrow\quad r^2+(\alpha-1)r+\beta=0.\]

We onderscheiden weer drie mogelijkheden voor de discriminant \(D=(\alpha-1)^2-4\beta\): \(D>0\), \(D=0\) en \(D<0\).

Als \(D>0\) dan heeft de karakteristieke vergelijking twee verschillende reële oplossingen, zeg \(r_1\) en \(r_2\).
De algemene oplossing is dan \(y(t)=c_1t^{r_1}+c_2t^{r_2}\).

Als \(D=0\) dan heeft de karakteristieke vergelijking twee samenvallende oplossingen \(r_1=r_2=r\). Dan volgt met \(x=\ln(t)\) dat \(xe^{r x}=t^r\ln(t)\).
De algemene oplossing is dan dus: \(y(t)=c_1t^r+c_2t^r\ln(t)\).

Als \(D<0\) dan heeft de karakteristieke vergelijking twee niet-reële oplossingen, zeg \(r_{1,2}=\gamma\pm i\delta\) met \(\delta\neq0\). Dan volgt met \(x=\ln(t)\) dat \(e^{\gamma x}\cos(\beta x)=t^{\gamma}\cos(\beta\ln(t))\) en \(e^{\gamma x}\sin(\beta x)=t^{\gamma}\sin(\beta\ln(t))\).
De algemene oplossing is dan dus \(y(t)=c_1t^{\gamma}\cos(\beta\ln(t))+c_2t^{\gamma}\sin(\beta\ln(t))\).

Dus: als \(r_1\) en \(r_2\) de twee oplossingen zijn van de karakteristieke vergelijking, dan

1. als \(r_1,r_2\in\mathbb{R}\) met \(r_1\neq r_2\), dan: \(y(t)=c_1t^{r_1}+c_2t^{r_2}\) met \(c_1,c_2\in\mathbb{R}\),


2. als \(r_1,r_2\in\mathbb{R}\) met \(r_1=r_2=r\), dan: \(y(t)=c_1t^{r}+c_2t^{r}\ln(t)\) met \(c_1,c_2\in\mathbb{R}\),


3. als \(r_1,r_2\notin\mathbb{R}\), dus \(r_{1,2}=\gamma\pm i\delta\) met \(\delta\neq0\), dan: \(y(t)=c_1t^{\gamma}\cos(\delta\ln(t))+c_2t^{\gamma}\sin(\delta\ln(t))\) met \(c_1,c_2\in\mathbb{R}\).

Voorbeelden:

1) Beschouw \(t^2y''(t)-ty'(t)-3y(t)=0\) voor \(t>0\), dan is de karakteristieke vergelijking: \(r(r-1)-r-3=0\) oftewel \((r+1)(r-3)=0\).
De algemene oplossing is dus: \(y(t)=c_1t^3+c_2t^{-1}\).

2) Beschouw \(t^2y''(t)-3ty'(t)+4y(t)=0\) voor \(t>0\), dan is de karakteristieke vergelijking: \(r(r-1)-3r+4=0\) oftewel \((r-2)^2=0\).
De algemene oplossing is dus: \(y(t)=c_1t^2+c_2t^2\ln(t)\).

3) Beschouw \(t^2y''(t)-ty'(t)+5y(t)=0\) voor \(t>0\), dan is de karakteristieke vergelijking: \(r(r-1)-r+5=0\) oftewel \(((r-1)^2+4=0\).
De algemene oplossing is dus: \(y(t)=c_1t\cos(2\ln(t))+c_2t\sin(2\ln(t))\).

---

Laatst gewijzigd op 19 april 2021