OnderwijsDifferentiaalvergelijkingen – Gewone differentiaalvergelijkingen – Tweede orde lineaire differentiaalvergelijkingen
Een tweede orde lineaire differentiaalvergelijking heeft de vorm
\[P(t)y''(t)+Q(t)y'(t)+R(t)y(t)=G(t),\]waarbij \(P\), \(Q\), \(R\) en \(G\) continue functies zijn met \(P(t)\not\equiv0\). Deze differentiaalvergelijking heet homogeen als \(G(x)\equiv0\) en inhomogeen als \(G(x)\not\equiv0\).
Omdat \(P(t)\not\equiv0\) kan een tweede orde lineaire differentiaalvergelijking worden geschreven in de standaardvorm
\[y''(t)+p(t)y'(t)+q(t)y(t)=g(t)\quad\text{met}\quad p(t)=\frac{Q(t)}{P(t)},\quad q(t)=\frac{R(t)}{P(t)}\quad\text{en}\quad g(t)=\frac{G(t)}{P(t)}.\]We beperken ons vervolgens tot intervallen waar de functies \(p,\), \(q\) en \(g\) continu zijn. Dan geldt:
Stelling: Beschouw het beginwaardeprobleem
\[y''(t)+p(t)y'(t)+q(t)y(t)=g(t),\quad y(t_0)=y_0,\quad y'(t_0)=y_0',\]waarbij \(p\), \(q\) en \(g\) continue functies zijn op een open interval \(I\) dat het punt \(t_0\) bevat. Dit beginwaardeprobleem heeft precies één oplossing en die oplossing bestaat op het gehele interval \(I\).
Dit heet de existentie- en eenduidigheidsstelling. Dit zegt dus dat er een oplossing bestaat (existentie), dat deze uniek is (eenduidigheid) en dat deze bestaat op het hele interval \(I\).
Voor een homogene lineaire differentiaalvergelijking geldt het superpositieprincipe:
Stelling: Als \(y_1\) en \(y_2\) oplossingen zijn van \[y''(t)+p(t)y'(t)+q(t)y(t)=0,\]
dan is \(y(t)=c_1y_1(t)+c_2y_2(t)\) ook een oplossing voor iedere \(c_1,c_2\in\mathbb{R}\).
Bewijs: Als \(y_1\) en \(y_2\) oplossingen zijn, dan geldt: \(y_1''(t)+p(t)y_1'(t)+q(t)y_1(t)=0\) en \(y_2''(t)+p(t)y_2'(t)+q(t)y_2(t)=0\).
Dan volgt voor \(y(t)=c_1y_1(t)+c_2y_2(t)\):
Als \(y(t)=c_1y_1(t)+c_2y_2(t)\) voldoet aan de beginvoorwaarden \(y(t_0)=y_0\) en \(y'(t_0)=y_0'\), dan volgt:
\(\left\{\begin{array}{l}c_1y_1(t_0)+c_2y_2(t_0)=y_0\\[2.5mm]c_2y_1'(t_0)+c_2y_2'(t_0)=y_0'.\end{array}\right.\)
Dit stelsel heeft precies één oplossing als de coëfficiëntenmatrix \(\begin{pmatrix}y_1(t_0)&y_2(t_0)\\y_1'(t_0)&y_2'(t_0)\end{pmatrix}\)
inverteerbaar is en dus als
Definitie: De determinant \(W(y_1,y_2)(t_0):=\begin{vmatrix}y_1(t_0)&y_2(t_0)\\y_1'(t_0)&y_2'(t_0)\end{vmatrix} =y_1(t_0)y_2'(t_0)-y_2(t_0)y_1'(t_0)\) heet de determinant van Wronksi of de Wronskiaan van de oplossingen \(y_1\) en \(y_2\).
We concluderen dat de twee functies \(y_1\) en \(y_2\) lineair onafhankelijk zijn dan en slechts dan als \(W(y_1,y_2)(t)\neq0\).
Nu geldt de stelling van Abel:
Stelling: Als \(y_1\) en \(y_2\) oplossingen zijn van de homogene differentiaalvergelijking \[y''(t)+p(t)y'(t)+q(t)y(t)=0\]
met \(p\) en \(q\) continue functies op een open interval \(I\), dan geldt voor alle \(t\in I\):
\[W(y_1,y_2)(t)=c\cdot e^{-\int p(t)\,dt}\quad\text{voor zekere}\quad c\in\mathbb{R}.\]Merk op dat dit betekent: \(c\neq0\) dan en slechts dan als \(y_1\) en \(y_2\) lineair onafhankelijk zijn.
Bewijs: Als \(y_1\) en \(y_2\) oplossingen zijn, dan geldt: \(y_1''(t)+p(t)y_1'(t)+q(t)y_1(t)=0\) en \(y_2''(t)+p(t)y_2'(t)+q(t)y_2(t)=0\).
Als we de tweede vergelijking vermenigvuldigen met \(y_1(t)\) en de eerste met \(-y_2(t)\) en we tellen de resultaten op, dan volgt:
Uit \(W(t)=y_1(t)y_2'(t)-y_2(t)y_1'(t)\) volgt dat \(W'(t)=y_1'(t)y_2'(t)+y_1(t)y_2''(t)-y_2'(t)y_1'(t)-y_2(t)y_1''(t)=y_1(t)y_2''(t)-y_2(t)y_1''(t)\).
Dus: \(W'(t)+p(t)W(t)\). Daaruit volgt dat \(W(t)=c\cdot\exp\left(-\int p(t)\,dt\right)\) voor zekere \(c\in\mathbb{R}\).
Gevolg: \(W(y_1,y_2)(t)\) is óf nul voor alle \(t\in I\) (als \(c=0\)) óf is nergens nul voor alle \(t\in I\) (als \(c\neq0\)).
Laatst gewijzigd op 19 april 2021
