Differentiaalvergelijkingen – Gewone differentiaalvergelijkingen – Hogere orde lineaire differentiaalvergelijkingen

Voor hogere orde lineaire differentiaalvergelijkingen is de theorie eigenlijk vergelijkbaar met die van tweede orde lineaire differentiaalvergelijkingen. Een \(n^{\text{e}}\) orde lineaire differentiaalvergelijking kan geschreven worden in de (standaard)vorm

\[y^{(n)}(t)+p_1(t)y^{(n-1)}(t)+\cdots+p_{n-1}(t)y'(t)+p_n(t)y(t)=g(t)\]

met \(p_1,p_2,\ldots,p_n\) en \(g\) continue functies. Deze differentiaalvergelijking heet homogeen als \(g(t)\equiv0\) en anders inhomogeen.

We beginnen met de existentie- en eenduidigheidsstelling:

Stelling: Als \(p_1,p_2,\ldots,p_n\) en \(g\) continu zijn op een open interval \(I\) en \(t_0\in I\), dan bestaat er precies één functie \(y(t)\) die voldoet aan de differentiaalvergelijking en de beginvoorwaarden \(y(t_0)=y_0,\;y'(t_0)=y_0',\;\ldots,\;y^{(n-1)}(t_0)=y_0^{(n-1)}\).

Voor een homogene lineaire differentiaalvergelijking geldt bovendien het superpositieprincipe:

Stelling: Als \(y_1,\;y_2,\;\ldots,\;y_n\) oplossingen zijn van de homogene lineaire differentiaalvergelijking

\[y^{(n)}(t)+p_1(t)y^{(n-1)}(t)+\cdots+p_{n-1}(t)y'(t)+p_n(t)y(t)=0,\]

dan is \(y(t)=c_1y_1(t)+c_2y_2(t)+\cdots+c_ny_n(t)\) ook een oplossing voor iedere keuze van \(c_1,c_2,\ldots,c_n\in\mathbb{R}\).

Definitie: Als \(y_1,\;y_2,\;\ldots,\;y_n\) oplossingen zijn van de homogene lineaire differentiaalvergelijking

\[y^{(n)}(t)+p_1(t)y^{(n-1)}(t)+\cdots+p_{n-1}(t)y'(t)+p_n(t)y(t)=0,\]

dan is

\[W(y_1,y_2,\ldots,y_n)(t):=\begin{vmatrix}y_1(t)&y_2(t)&\ldots&y_n(t)\\y_1'(t)&y_2'(t)&\ldots&y_n'(t)\\\vdots&\vdots&&\vdots\\ y_1^{(n-1)}(t)&y_2^{(n-1)}(t)&\ldots&y_n^{(n-1)}(t)\end{vmatrix}\]

de determinant van Wronski of de Wronskiaan van de oplossingen \(y_1,\;y_2,\;\ldots,\;y_n\). Nu geldt de stelling van Abel:

Stelling: \(W(y_1,y_2,\ldots,y_n)(t)=c\cdot e^{-\int p_1(t)\,dt}\) voor zekere \(c\in\mathbb{R}\).

Dit betekent weer dat de determinant óf gelijk aan nul is voor alle \(t\) (als \(c=0\)) óf ongelijk aan nul is voor alle \(t\) (als \(c\neq0\)).

Voor homogene lineaire differentiaalvergelijkingen met constante coëfficiënten leidt de substitutie van \(y(t)=e^{rt}\) tot een \(n^{\text{e}}\) graads karakteristiek polynoom. Als we aannemen dat de coëfficiënten reëel zijn, dan heeft dit polynoom \(n\) nulpunten, geteld met multipliciteit, waarbij niet-reële nulpunten alleen in complex geconjugeerde paren voorkomen.

Voorbeelden:

1) De karakteristieke vergelijking van \(y^{(3)}(t)-2y''(t)-5y'(t)+6y(t)=0\) is \(r^3-2r^2-5r+6=0\). Als deze vergelijking een gehele oplossing heeft, dan moet dat een deler van \(6\) zijn. Probeer dus \(\pm1\), \(\pm2\), \(\pm3\) en \(\pm6\) als mogelijke oplossing. Merk op dat \(r=1\) een oplossing is, dan volgt: \(r^3-2r^2-5r+6=(r-1)(r^2-r-6)=(r-1)(r+2)(r-3)\). De algemene oplossing is dus \(y(t)=c_1e^t+c_2e^{-2t}+c_3e^{3t}\).

2) De karakteristieke vergelijking van \(y^{(4)}-2y''(t)+y(t)=0\) is \(r^4-2r^2+1=0\) oftewel \((r^2-1)^2=0\). De oplossingen zijn dus \(r=\pm1\), die beide tweemaal voorkomen. De algemene oplossing is dus: \(y(t)=c_1e^t+c_2te^t+c_3e^{-t}+c_4te^{-t}\).

3) De karakteristieke vergelijking van \(y^{(4)}-y(t)=0\) is \(r^4-1=0\) oftewel \((r^2-1)(r^2+1)=0\). De oplossingen zijn dus \(r=\pm1\) en \(r=\pm i\). De algemene oplossing is dus: \(y(t)=c_1e^t+c_2e^{-t}+c_3\cos(t)+c_4\sin(t)\).

Voor inhomogene lineaire differentiaalvergelijkingen met constante coëfficiënten kunnen we de methode van onbepaalde coëfficiënten gebruiken om een particuliere oplossing te vinden als het rechterlid \(g(t)\) een exponentiële functie, een polynoom, een sinus, een cosinus of een combinatie van deze functies is.

Voorbeelden:

1) Beschouw \(y^{(3)}(t)-y''(t)+y'(t)-y(t)=e^{-t}\). De karakteristieke vergelijking is: \(r^3-r^2+r-1=0\) oftewel \((r-1)(r^2+1)=0\). De algemene oplossing van de homogene differentiaalvergelijking is dus: \(y_h(t)=c_1e^t+c_2\cos(t)+c_3\sin(t)\). Stel nu \(y_p(t)=Ae^{-t}\), dan volgt: \(y_p'(t)=-Ae^{-t}\), \(y_p''(t)=Ae^{-t}\) en \(y_p^{(3)}(t)=-Ae^{-t}\). Invullen geeft dan: \(-4Ae^{-t}=e^{-t}\) en dus \(A=-\frac{1}{4}\). Een particuliere oplossing is dus: \(y_p(t)=-\frac{1}{4}e^{-t}\). De algemene oplossing is dan: \(y(t)=y_p(t)+y_h(t)=-\frac{1}{4}e^{-t}+c_1e^t+c_2\cos(t)+c_3\sin(t)\).

2) Beschouw \(y^{(3)}(t)-y''(t)+y'(t)-y(t)=e^t\). Dus (zie vorige voorbeeld): \(y_h(t)=c_1e^t+c_2\cos(t)+c_3\sin(t)\). Stel nu \(y_p(t)=Ate^t\), dan volgt: \(y_p'(t)=A(t+1)e^t\), \(y''(t)=A(t+2)e^t\) en \(y^{(3)}(t)=A(t+3)e^t\). Invullen geeft dan: \(A(t+3-t-2+t+1-t)e^t=e^t\) oftewel \(2Ae^t=e^t\). Dus: \(A=\frac{1}{2}\). Een particuliere oplossing is dus: \(y_p(t)=\frac{1}{2}te^t\). De algemene oplossing is dan: \(y(t)=y_p(t)+y_h(t)=\frac{1}{2}te^t+c_1e^t+c_2\cos(t)+c_3\sin(t)\).

3) Beschouw \(y^{(4)}(t)-5y''(t)+4y(t)=8t^3\). De karakteristieke vergelijking is: \(r^4-5r^2+4=0\) oftewel \((r^2-1)(r^2-4)=0\). De algemene oplossing van de homogene differentiaalvergelijking is dus: \(y_h(t)=c_1e^t+c_2^{-t}+c_3e^{2t}+c_4e^{-2t}\). Stel nu \(y_p(t)=At^3+Bt^2+Ct+D\), dan volgt: \(y_p'(t)=3At^2+2Bt+C\), \(y_p''(t)=6At+2B\), \(y_p^{(3)}(t)=6A\) en \(y^{(4)}(t)=0\). Invullen geeft dan:

\[-30At-10B+4At^3+4Bt^2+4Ct+4D=8t^3.\]

Hieruit volgt dat \(4A=8\), \(4B=0\), \(4C-30A=0\) en \(4D-10B=0\). Dus: \(A=2\), \(B=0\), \(C=15\) en \(D=0\). Een particuliere oplossing is dus: \(y_p(t)=2t^3+15t\). De algemene oplossing is dan: \(y(t)=y_p(t)+y_h(t)=2t^3+15t+c_1e^t+c_2^{-t}+c_3e^{2t}+c_4e^{-2t}\).

Ook hebben we de methode van variatie van constanten: als \(y_1,\;y_2,\;\ldots,\;y_n\) lineair onafhankelijke oplossingen zijn van de homogene differentiaalvergelijking

\[y^{(n)}(t)+p_1(t)y^{(n-1)}(t)+\cdots+p_{n-1}(t)y'(t)+p_n(t)y(t)=0,\]

dan is de determinant van Wronski of Wronskiaan van die oplossingen

\[W(y_1,y_2,\ldots,y_n)(t):=\begin{vmatrix}y_1(t)&y_2(t)&\ldots&y_n(t)\\y_1'(t)&y_2'(t)&\ldots&y_n'(t)\\\vdots&\vdots&&\vdots\\ y_1^{(n-1)}(t)&y_2^{(n-1)}(t)&\ldots&y_n^{(n-1)}(t)\end{vmatrix}\neq0\]

en is \(y_h(t)=c_1y_1(t)+c_2y_2(t)+\cdots+c_ny_n(t)\) de algemene oplossing van de homogene differentiaalvergelijking.

Stel nu \(y(t)=u_1(t)y_1(t)+u_2(t)y_2(t)+\cdots+u_n(t)y_n(t)\), dan volgt:

\[y'(t)=\underbrace{u_1'(t)y_1(t)+u_2'(t)y_2(t)+\cdots+u_n'(t)y_n(t)}_{\text{stel dit gelijk aan nul}}+u_1(t)y_1'(t)+u_2(t)y_2'(t)+\cdots+u_n(t)y_n'(t),\] \[y''(t)=\underbrace{u_1'(t)y_1'(t)+u_2'(t)y_2'(t)+\cdots+u_n'(t)y_n'(t)}_{\text{stel dit gelijk aan nul}}+u_1(t)y_1''(t)+u_2(t)y_2''(t)+\cdots+u_n(t)y_n''(t),\]

enzovoort tot

\[y^{(n-1)}(t)=\underbrace{u_1'(t)y_1^{(n-2)}(t)+u_2'(t)y_2^{(n-2)}(t)+\cdots+u_n'(t)y_n^{(n-2)}(t)}_{\text{stel dit gelijk aan nul}}+u_1(t)y_1^{(n-1)}(t)+u_2(t)y_2^{(n-1)}(t)+\cdots+u_n(t)y_n^{(n-1)}(t).\]

Dan volgt:

\[y^{(n)}(t)=u_1'(t)y_1^{(n-1)}(t)+u_2'(t)y_2^{(n-1)}(t)+\cdots+u_n'(t)y_n^{(n-1)}(t)+u_1(t)y_1^{(n)}(t)+u_2(t)y_2^{(n)}(t)+\cdots+u_n(t)y_n^{(n)}(t).\]

Invullen in de (standaardvorm van de) inhomogene differentiaalvergelijking geeft ten slotte (de termen met \(u_1(t),\;\ldots,\;u_n(t)\) vallen weg):

\[u_1'(t)y_1^{(n-1)}(t)+u_2'(t)y_2^{(n-1)}(t)+\cdots+u_n'(t)y_n^{(n-1)}(t)=g(t).\]

We hebben dan uiteindelijk:

\[\begin{pmatrix}y_1(t)&y_2(t)&\ldots&y_n(t)\\y_1'(t)&y_2'(t)&\ldots&y_n'(t)\\\vdots&\vdots&&\vdots\\ y_1^{(n-1)}(t)&y_2^{(n-1)}(t)&\ldots&y_n^{(n-1)}(t)\end{pmatrix}\begin{pmatrix}u_1'(t)\\u_2'(t)\\\vdots\\u_n'(t)\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\\0\\\vdots\\g(t)\end{pmatrix}.\]

Aangezien de Wronskiaan ongelijk aan nul is, is deze coëfficiëntenmatrix inverteerbaar en heeft dit stelsel dus precies één oplossing voor \(u_1'(t),\;\ldots,\;u_n'(t)\). Integreren levert dan \(u_1(t),\;\ldots,\;u_n(t)\) met elk een willekeurige integratieconstante. De algemene oplossing is dan: \(y(t)=u_1(t)y_1(t)+u_2(t)y_2(t)+\cdots+u_n(t)y_n(t)\).

Voorbeelden:

1) Beschouw \(y^{(3)}(t)-y''(t)+y'(t)-y(t)=e^{-t}\). De karakteristieke vergelijking is: \(r^3-r^2+r-1=0\) oftewel \((r-1)(r^2+1)=0\). De algemene oplossing van de homogene differentiaalvergelijking is dus: \(y_h(t)=c_1e^t+c_2\cos(t)+c_3\sin(t)\). Hierboven hebben we met behulp van de methode van onbepaalde coëfficiënten al gezien dat \(y_p(t)=-\frac{1}{4}e^{-t}\) een particuliere oplossing is.

Nu gaan we de methode van variatie van constanten toepassen: stel dat \(y(t)=u_1(t)e^t+u_2(t)\cos(t)+u_3(t)\sin(t)\), dan volgt

\[y'(t)=\underbrace{u_1'(t)e^t+u_2'(t)\cos(t)+u_3'(t)\sin(t)}_{\text{stel dit gelijk aan nul}}+u_1(t)e^t-u_2(t)\sin(t)+u_3(t)\cos(t),\] \[y''(t)=\underbrace{u_1'(t)e^t-u_2'(t)\sin(t)+u_3'(t)\cos(t)}_{\text{stel dit gelijk aan nul}}+u_1(t)e^t-u_2(t)\cos(t)-u_3(t)\sin(t)\]

en

\[y^{(3)}(t)=u_1'(t)e^t-u_2'(t)\cos(t)-u_3'(t)\sin(t)+u_1(t)e^t+u_2(t)\sin(t)-u_3(t)\cos(t).\]

Invullen geeft dan (de termen met \(u_1(t)\), \(u_2(t)\) en \(u_3(t)\) vallen weg): \(u_1'(t)e^t-u_2'(t)\cos(t)-u_3'(t)\sin(t)=e^{-t}\). Dus:

\[\left\{\begin{array}{rcl}u_1'(t)e^t+u_2'(t)\cos(t)+u_3'(t)\sin(t)&=&0\\u_1'(t)e^t-u_2'(t)\sin(t)+u_3'(t)\cos(t)&=&0\\ u_1'(t)e^t-u_2'(t)\cos(t)-u_3'(t)\sin(t)&=&e^{-t}\end{array}\right.\quad\Longleftrightarrow\quad \begin{pmatrix}e^t&\cos(t)&\sin(t)\\e^t&-\sin(t)&\cos(t)\\e^t&-\cos(t)&-\sin(t)\end{pmatrix} \begin{pmatrix}u_1'(t)\\u_2'(t)\\u_3'(t)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\e^{-t}\end{pmatrix}.\]

Uiteindelijk volgt hieruit: \(u_1'(t)=\frac{1}{2}e^{-2t}\), \(u_2'(t)=-\frac{1}{2}e^{-t}\left(\cos(t)-\sin(t)\right)\) en \(u_3'(t)=-\frac{1}{2}e^{-t}\left(\cos(t)+\sin(t)\right)\). Integreren levert dan: \(u_1(t)=-\frac{1}{4}e^{-2t}+c_1\), \(u_2(t)=-\frac{1}{2}e^{-t}\sin(t)+c_2\) en \(u_3(t)=\frac{1}{2}e^{-t}\cos(t)+c_3\). Ten slotte vinden we dan:

\begin{align*} y(t)=u_1(t)e^t+u_2(t)\cos(t)+u_3(t)\sin(t)&=-\tfrac{1}{4}e^{-t}-\tfrac{1}{2}e^{-t}\sin(t)\cos(t)+\tfrac{1}{2}e^{-t}\sin(t)\cos(t) +c_1e^t+c_2\cos(t)+c_3\sin(t)\\[2.5mm] &=\underbrace{-\tfrac{1}{4}e^{-t}}_{y_p(t)}+\underbrace{c_1e^t+c_2\cos(t)+c_3\sin(t)}_{y_h(t)}. \end{align*}

2) Beschouw \(y^{(4)}(t)-5y''(t)+4y(t)=1\). De karakteristieke vergelijking is: \(r^4-5r^2+4=0\) oftewel \((r^2-1)(r^2-4)=0\). De algemene oplossing van de homogene differentiaalvergelijking is dus: \(y_h(t)=c_1e^t+c_2^{-t}+c_3e^{2t}+c_4e^{-2t}\). Het is eenvoudig in te zien dat \(y_p(t)=\frac{1}{4}\) een particuliere oplossing is. Met behulp van variatie van constanten gaat het zo: stel \(y(t)=u_1(t)e^t+u_2(t)e^{-t}+u_3(t)e^{2t}+u_4(t)e^{-2t}\), dan volgt uiteindelijk dat

\[\begin{pmatrix}e^t&e^{-t}&e^{2t}&e^{-2t}\\e^t&-e^{-t}&2e^{2t}&-2e^{-2t}\\e^t&e^{-t}&4e^{2t}&4e^{-2t}\\ e^t&-e^{-t}&8e^{2t}&-8e^{-2t}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}u_1'(t)\\u_2'(t)\\u_3'(t)\\u_4'(t)\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix}.\]

Hieruit volgt uiteindelijk: \(u_1'(t)=-\frac{1}{6}e^{-t}\), \(u_2'(t)=\frac{1}{6}e^t\), \(u_3'(t)=\frac{1}{12}e^{-2t}\) en \(u_4'(t)=-\frac{1}{12}e^{2t}\). Integreren geeft dan: \(u_1(t)=\frac{1}{6}e^{-t}+c_1\), \(u_2(t)=\frac{1}{6}e^t+c_2\), \(u_3(t)=-\frac{1}{24}e^{-2t}+c_3\) en \(u_4(t)=-\frac{1}{24}e^{2t}+c_4\). Ten slotte vinden we dan:

\begin{align*} y(t)=u_1(t)e^t+u_2(t)e^{-t}+u_3(t)e^{2t}+u_4(t)e^{-2t}&=\tfrac{1}{6}+\tfrac{1}{6}-\tfrac{1}{24}-\tfrac{1}{24} +c_1e^t+c_2e^{-t}+c_3e^{2t}+c_4e^{-2t}\\[2.5mm] &=\underbrace{\tfrac{1}{4}}_{y_p(t)}+\underbrace{c_1e^t+c_2e^{-t}+c_3e^{2t}+c_4e^{-2t}}_{y_h(t)}. \end{align*}

3) Beschouw \(y^{(3)}(t)-3y''(t)+3y'(t)-y(t)=\displaystyle\frac{e^t}{t^3}\) voor \(t>0\). De karakteristieke vergelijking is \(r^3-3r^2+3r-1=0\) oftewel \((r-1)^3=0\). De algemene oplossing van de homogene differentiaalvergelijking is dus \(y_h(t)=c_1e^t+c_2te^t+c_3t^2e^t\). Stel nu \(y(t)=u_1(t)e^t+u_2(t)te^t+u_3(t)t^2e^t\), dan volgt:

\[\begin{pmatrix}e^t&te^t&t^2e^t\\e^t&(t+1)e^t&(t^2+2t)e^t\\e^t&(t+2)e^t&(t^2+4t+2)e^t\end{pmatrix} \begin{pmatrix}u_1'(t)\\u_2'(t)\\u_3'(t)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\\frac{e^t}{t^3}\end{pmatrix}.\]

Hieruit volgt uiteindelijk dat \(u_1'(t)=\displaystyle\frac{1}{2t}\), \(u_2'(t)=-\displaystyle\frac{1}{t^2}\) en \(u_3'(t)=\displaystyle\frac{1}{2t^3}\). Integreren geeft dan: \(u_1(t)=\frac{1}{2}\ln(t)+k_1\), \(u_2(t)=\displaystyle\frac{1}{t}+k_2\) en \(u_3(t)=-\displaystyle\frac{1}{4t^2}+k_3\). Ten slotte vinden we dan:

\[y(t)=u_1(t)e^t+u_2(t)te^t+u_3(t)t^2e^t=\tfrac{1}{2}e^t\ln(t)+e^t-\tfrac{1}{4}e^t+k_1e^t+k_2te^t+k_3t^2e^t.\]

Dit kan worden vereenvoudigd tot: \(y(t)=\frac{1}{2}e^t\ln(t)+c_1e^t+c_2te^t+c_3t^2e^t\).

Het zal duidelijk zijn dat we de methode van variatie van constanten alleen toepassen als de methode van onbepaalde coëfficiënten niet werkt!

---

Laatst gewijzigd op 21 april 2021