Differentiaalvergelijkingen – Gewone differentiaalvergelijkingen – Variatie van constanten

Bij het vak Analyse is de methode van onbepaalde coëfficiënten al behandeld. Hier bekijken we de methode van variatie van constanten om een particuliere oplossing (of de algemene oplossing) van een inhomogene lineaire differentiaalvergelijking te vinden als we de algemene oplossing van de bijbehorende homogene differentiaalvergelijking kennen.

Beschouw de inhomogene tweede orde lineaire differentiaalvergelijking in standaardvorm:

\[y''(t)+p(t)y'(t)+q(t)y(t)=g(t)\]

met \(p\), \(q\) en \(g\) continue functies. Stel dat \(y_h(t)=c_1y_1(t)+c_2y_2(t)\) de algemene oplossing is van de bijbehorende homogene differentiaalvergelijking

\[y''(t)+p(t)y'(t)+q(t)y(t)=0.\]

Stel nu \(y(t)=u_1(t)y_1(t)+u_2(t)y_2(t)\), dan volgt:

\[y'(t)=\underbrace{u_1'(t)y_1(t)+u_2'(t)y_2(t)}_{\text{stel dit gelijk aan nul}}+u_1(t)y_1'(t)+u_2(t)y_2'(t)\]

en

\[y''(t)=u_1'(t)y_1'(t)+u_2'(t)y_2'(t)+u_1(t)y_1''(t)+u_2(t)y_2''(t).\]

Invullen in de inhomogene differentiaalvergelijking geeft dan (de termen met \(u_1(t)\) en \(u_2(t)\) vallen weg):

\[u_1'(t)y_1'(t)+u_2'(t)y_2'(t)=g(t).\]

Dan volgt dus:

\[\left\{\begin{array}{l}u_1'(t)y_1(t)+u_2'(t)y_2(t)=0\\[2.5mm]u_1'(t)y_1'(t)+u_2'(t)y_2'(t)=g(t)\end{array}\right.\quad\Longleftrightarrow\quad \begin{pmatrix}y_1(t)&y_2(t)\\y_1'(t)&y_2'(t)\end{pmatrix}\begin{pmatrix}u_1'(t)\\u_2'(t)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\g(t)\end{pmatrix}.\]

Merk op dat de determinant van de coëfficiëntenmatrix

\[\begin{vmatrix}y_1(t)&y_2(t)\\y_1'(t)&y_2'(t)\end{vmatrix}=W(y_1,y_2)(t)\]

de Wronskiaan is van de oplossingen \(y_1(t)\) en \(y_2(t)\) van de homogene differentiaalvergelijking. Als deze oplossingen lineair onafhankelijk zijn, dan is die determinant \(W(y_1,y_2)(t)\) ongelijk aan nul en bestaat er dus een unieke oplossing voor \(u_1'(t)\) en \(u_2'(t)\). Daaruit volgen vervolgens \(u_1(t)\) en \(u_2(t)\) door te integreren, elk met een willekeurige integratieconstante. Dan is \(y(t)=u_1(t)y_1(t)+u_2(t)y_2(t)\) de algemene oplossing van de inhomogene differentiaalvergelijking, bestaande uit een particuliere oplossing en de algemene oplossing \(y_h(t)=c_1y_1(t)+c_2y_2(t)\) van de homogene differentiaalvergelijking.

Achteraf zien we dus dat het gelijk aan nul stellen van \(u_1'(t)y_1(t)+u_2'(t)y_2(t)\) kennelijk geoorloofd was.

Voorbeelden:

1) Beschouw \(ty''(t)-(1+t)y'(t)+y(t)=2t^2e^{2t}\) voor \(t>0\). Het is eenvoudig na te gaan dat \(y_1(t)=1+t\) en \(y_2(t)=e^t\) oplossingen zijn van de homogene differentiaalvergelijking \(ty''(t)-(1+t)y'(t)+y(t)=0\). Nu kunnen we de methode van variatie van constanten toepassen om een particuliere (of de algemene) oplossing van de inhomogene differentiaalvergelijking te vinden. Stel \(y(t)=(1+t)u_1(t)+e^tu_2(t)\), dan volgt:

\[y'(t)=\underbrace{(1+t)u_1'(t)+e^tu_2'(t)}_{\text{stel dit gelijk aan nul}}+u_1(t)+e^tu_2(t)\quad\Longrightarrow\quad y''(t)=u_1'(t)+e^tu_2'(t)+e^tu_2(t).\]

Invullen geeft dan:

\[tu_1'(t)+te^tu_2'(t)+te^tu_2(t)-(1+t)u_1(t)-(1+t)e^tu_2(t)+(1+t)u_1(t)+e^tu_2(t)=2t^2e^{2t}\]

oftewel

\[tu_1'(t)+te^tu_2'(t)=2t^2e^{2t}\quad\Longleftrightarrow\quad u_1'(t)+e^tu_2'(t)=2te^{2t}.\]

Hieruit volgt:

\[\left\{\begin{array}{rcl}(1+t)u_1'(t)+e^tu_2'(t)&=&0\\[2.5mm]u_1'(t)+e^tu_2'(t)&=&2te^{2t}\end{array}\right.\quad\Longrightarrow\quad u_1'(t)=-2e^{2t}\quad\text{en}\quad u_2'(t)=2(1+t)e^t.\]

Hieruit volgt dat \(u_1(t)=-e^{2t}+c_1\) en \(u_2(t)=2te^t+c_2\). De algemene oplossing is dus:

\[y(t)=(1+t)u_1(t)+e^tu_2(t)=-(1+t)e^{2t}+2te^{2t}+c_1(1+t)+c_2e^t=(t-1)e^{2t}+c_1(1+t)+c_2e^t,\quad c_1,c_2\in\mathbb{R}.\]

2) Beschouw \(y''(t)+4y'(t)+4y(t)=\displaystyle\frac{e^{-2t}}{t^2}\) voor \(t>0\). De karakteristieke vergelijking is \(r^2+4r+4=0\) oftewel \((r+2)^2=0\). De algemene oplossing van de homogene differentiaalvergelijking is dus: \(y_h(t)=c_1e^{-2t}+c_2te^{-2t}\). Stel nu \(y(t)=u_1(t)e^{-2t}+u_2(t)te^{-2t}\), dan volgt:

\[y'(t)=\underbrace{u_1'(t)e^{-2t}+u_2'(t)te^{-2t}}_{\text{stel dit gelijk aan nul}}-2u_1(t)e^{-2t}+u_2(t)(1-2t)e^{-2t}\]

en

\[y''(t)=-2u_1'(t)e^{-2t}+u_2'(t)(1-2t)e^{-2t}+4u_1(t)e^{-2t}+u_2(t)(4t-4)e^{-2t}.\]

Invullen geeft dan: \(-2u_1'(t)e^{-2t}+u_2'(t)(1-2t)e^{-2t}=\displaystyle\frac{e^{-2t}}{t^2}\). Dus:

\[\left\{\begin{array}{rcl}u_1'(t)e^{-2t}+u_2'(t)te^{-2t}&=&0\\[2.5mm]-2u_1'(t)e^{-2t}+u_2'(t)(1-2t)e^{-2t}&=&\displaystyle\frac{e^{-2t}}{t^2}\end{array}\right. \quad\Longrightarrow\quad\left\{\begin{array}{rcl}u_1'(t)+tu_2'(t)&=&0\\[2.5mm]-2u_1'(t)+(1-2t)u_2'(t)&=&\displaystyle\frac{1}{t^2}.\end{array}\right.\]

Hieruit volgt: \(u_2'(t)=\displaystyle\frac{1}{t^2}\) en \(u_1'(t)=-tu_2'(t)=-\displaystyle\frac{1}{t}\). Integreren geeft dan: \(u_1(t)=\ln(t)+k_1\) en \(u_2(t)=-\displaystyle\frac{1}{t}+k_2\). De algemene oplossing is dus: \(y(t)=-e^{-2t}\ln(t)-e^{-2t}+k_1e^{-2t}+k_2te^{-2t}\) met \(k_1,k_2\in\mathbb{R}\). Merk op dat dit vereenvoudigd kan worden tot

\[y(t)=-e^{-2t}\ln(t)+c_1e^{-2t}+c_2te^{-2},\quad c_1,c_2\in\mathbb{R}.\]

In dit geval kunnen we ook \(y(t)=u(t)e^{-2t}\) gebruiken. Dan volgt:

\[y'(t)=u'(t)e^{-2t}-2u(t)e^{-2t}\quad\text{en}\quad y''(t)=u''(t)e^{-2t}-4u'(t)e^{-2t}+4u(t)e^{-2t}.\]

Invullen geeft dan:

\[u''(t)e^{-2t}-4u'(t)e^{-2t}+4u(t)e^{-2t}+4u'(t)e^{-2t}-8u(t)e^{-2t}+4u(t)e^{-2t}=\frac{e^{-2t}}{t^2} \quad\Longrightarrow\quad u''(t)=\frac{1}{t^2}.\]

Hieruit volgt: \(u'(t)=-\displaystyle\frac{1}{t}+c_2\) en dus \(u(t)=-\ln(t)+c_1+c_2t\). De algemene oplossing is dus:

\[y(t)=u(t)e^{-2t}=-e^{-2t}\ln(t)+c_1e^{-2t}+c_2te^{-2t},\quad c_1,c_2\in\mathbb{R}.\]

---

Laatst gewijzigd op 19 april 2021