Analyse – Tweede orde differentiaalvergelijkingen – Inhomogene lineaire differentiaalvergelijkingen

Een inhomogene tweede orde lineaire differentiaalvergelijking heeft de vorm

\[P(x)y''(x)+Q(x)y'(x)+R(x)y(x)=G(x),\]

waarbij \(P\), \(Q\) en \(R\) continue functies zijn met \(P(x)\not\equiv0\) en \(G(x)\not\equiv0\). Dan geldt:

Stelling: Als \(y_p(x)\) een particuliere oplossing is en \(y_h(x)\) is de algemene oplossing van de bijbehorende homogene differentiaalvergelijking (met \(G(x)\) vervangen door \(0\)), dan is \(y(x)=y_p(x)+y_h(x)\) de algemene oplossing.

In het geval van inhomogene tweede orde lineaire differentiaalvergelijkingen met constante coëfiiciënten

\[ay''+by'+cy=G(x),\quad a,b,c\in\mathbb{R},\quad a\neq0,\]

kunnen we in alle gevallen de algemene oplossing \(y_h(x)\) van de bijbehorende homogene differentiaalvergelijking vinden.
Om de inhomogene differentiaalvergelijking op te lossen, hebben we dan alleen nog een (willekeurige) particuliere oplossing \(y_p(x)\) nodig.

In sommige gevallen kunnen we zo'n particuliere oplossing vinden door de vorm, met één of meerdere coëfficiënten, ervan te raden en vervolgens door in te vullen de waarden van die onbekende coëfficiënten af te leiden. Dit heet de

methode van onbepaalde coëfficiënten.

Deze methode kan worden toegepast als het rechterlid \(G(x)\) een exponentiële functie, een polynoom, een sinus, een cosinus of een combinatie van deze functies is.

Voorbeelden:

1) Als \(y''-2y'-8y=e^{3x}\), dan is \(y_h(x)=c_1e^{-2x}+c_2e^{4x}\). Stel nu \(y_p(x)=Ae^{3x}\), dan volgt: \(y_p'(x)=3Ae^{3x}\) en \(y_p''(x)=9Ae^{3x}\). Invullen geeft dan:

\[9Ae^{3x}-6Ae^{3x}-8Ae^{3x}=e^{3x}\quad\Longleftrightarrow\quad-5Ae^{3x}=e^{3x}\quad\Longleftrightarrow\quad A=-\tfrac{1}{5}.\] Dus: \(y_p(x)=-\frac{1}{5}e^{3x}\) is een particuliere oplossing. De algemene oplossing is dan: \(y(x)=-\frac{1}{5}e^{3x}+c_1e^{-2x}+c_2e^{4x}\) met \(c_1,c_2\in\mathbb{R}\).

2) Als \(y''-2y'-8y=e^{4x}\), dan is \(y_h(x)=c_1e^{-2x}+c_2e^{4x}\). Stel nu \(y_p(x)=Axe^{4x}\), dan volgt: \(y_p'(x)=A(4x+1)e^{4x}\) en \(y_p''(x)=A(16x+8)e^{4x}\). Invullen geeft dan:

\[A(16x+8)e^{4x}-A(8x+2)e^{4x}-8Axe^{4x}=e^{4x}\quad\Longleftrightarrow\quad6Ae^{4x}=e^{4x}\quad\Longleftrightarrow\quad A=\tfrac{1}{6}.\]

Dus: \(y_p(x)=\frac{1}{6}xe^{4x}\) is een particuliere oplossing. De algemene oplossing is dan: \(y(x)=\frac{1}{6}xe^{4x}+c_1e^{-2x}+c_2e^{4x}\) met \(c_1,c_2\in\mathbb{R}\).

3) Als \(y''-2y'-8y=8e^{2x}-6e^{-2x}\), dan is \(y_h(x)=c_1e^{-2x}+c_2e^{4x}\). Stel nu \(y_p(x)=Ae^{2x}+Bxe^{-2x}\), dan volgt: \(y_p'(x)=2Ae^{2x}+(-2Bx+B)e^{-2x}\) en \(y_p''(x)=4Ae^{2x}+(4Bx-4B)e^{-2x}\). Invullen geeft dan:

\begin{align*} &4Ae^{2x}+(4Bx-4B)e^{-2x}-4Ae^{2x}+(4Bx-2B)e^{-2x}-8Ae^{2x}-8Bxe^{-2x}=8e^{2x}-6e^{-2x}\\[2.5mm] &{}\hspace{10mm}\Longleftrightarrow\quad -8Ae^{2x}-6Be^{-2x}=8e^{2x}-6e^{-2x}\quad\Longleftrightarrow\quad A=-1\;\;\text{en}\;\;B=1. \end{align*}

Dus: \(y_p(x)=xe^{-2x}-e^{2x}\) is een particuliere oplossing. De algemene oplossing is dan: \(y(x)=xe^{-2x}-e^{2x}+c_1e^{-2x}+c_2e^{4x}\) met \(c_1,c_2\in\mathbb{R}\).

4) Als \(y''-4y'+4y=e^{2x}\), dan is \(y_h(x)=c_1e^{2x}+c_2xe^{2x}\). Stel nu \(y_p(x)=Ax^2e^{2x}\), dan volgt: \(y_p'(x)=A(2x^2+2x)e^{4x}\) en \(y_p''(x)=A(4x^2+8x+2)e^{2x}\). Invullen geeft dan:

\[A(4x^2+8x+2)e^{2x}-A(8x^2+8x)e^{2x}+4Ax^2e^{2x}=e^{2x}\quad\Longleftrightarrow\quad2Ae^{2x}=e^{2x}\quad\Longleftrightarrow\quad A=\tfrac{1}{2}.\]

Dus: \(y_p(x)=\frac{1}{2}x^2e^{2x}\) is een particuliere oplossing. De algemene oplossing is dan: \(y(x)=\frac{1}{2}x^2e^{2x}+c_1e^{2x}+c_2xe^{2x}\) met \(c_1,c_2\in\mathbb{R}\).

5) Als \(y''-2y'-8y=5xe^{3x}\), dan is \(y_h(x)=c_1e^{-2x}+c_2e^{4x}\). Stel nu \(y_p(x)=(Ax+B)e^{3x}\), dan volgt: \(y_p'(x)=(3Ax+A+3B)e^{3x}\) en \(y_p''(x)=(9Ax+6A+9B)e^{3x}\). Invullen geeft dan:

\begin{align*} &(9Ax+6A+9B-6Ax-2A-6B-8Ax-8B)e^{3x}=5xe^{3x}\quad\Longleftrightarrow\quad(-5Ax+4A-5B)e^{3x}=5xe^{3x}\\[2.5mm] &{}\hspace{10mm}\Longleftrightarrow\quad -5A=5\;\;\text{en}\;\;4A-5B=0\quad\Longleftrightarrow\quad A=-1\;\;\text{en}\;\;B=-\tfrac{4}{5}. \end{align*} Dus: \(y_p(x)=-(x+\frac{4}{5})e^{3x}\) is een particuliere oplossing. De algemene oplossing is dan: \(y(x)=-(x+\frac{4}{5})e^{3x}+c_1e^{-2x}+c_2e^{4x}\) met \(c_1,c_2\in\mathbb{R}\).

6) Als \(y''-2y'-8y=12xe^{4x}\), dan is \(y_h(x)=c_1e^{-2x}+c_2e^{4x}\). Stel nu \(y_p(x)=(Ax^2+Bx)e^{4x}\), dan volgt: \(y_p'(x)=(4Ax^2+2Ax+4Bx+B)e^{4x}\) en \(y_p''(x)=(16Ax^2+16Ax+16Bx+8B)e^{4x}\). Invullen geeft dan:

\begin{align*} &(16Ax^2+16Ax+16Bx+8B-8Ax^2-4Ax-8Bx-2B-8Ax^2-8Bx)e^{4x}=12xe^{4x}\quad\Longleftrightarrow\quad(12Ax+2A+6B)e^{4x}=12xe^{4x}\\[2.5mm] &{}\hspace{10mm}\Longleftrightarrow\quad 12A=12\;\;\text{en}\;\;2A+6B=0\quad\Longleftrightarrow\quad A=1\;\;\text{en}\;\;B=-\tfrac{1}{3}. \end{align*}

Dus: \(y_p(x)=(x^2-\frac{1}{3}x)e^{4x}\) is een particuliere oplossing. De algemene oplossing is dan: \(y(x)=(x^2-\frac{1}{3}x)e^{4x}+c_1e^{-2x}+c_2e^{4x}\) met \(c_1,c_2\in\mathbb{R}\).

7) Als \(y''+3y'+2y=4x\), dan is \(y_h(x)=c_1e^{-x}+c_2e^{-2x}\). Stel nu \(y_p(x)=Ax+B\), dan volgt: \(y_p'(x)=A\) en \(y_p''(x)=0\). Invullen geeft dan:

\[0+3A+2Ax+2B=4x\quad\Longleftrightarrow\quad 2A=4\;\;\text{en}\;\;3A+2B=0\quad\Longleftrightarrow\quad A=2\;\;\text{en}\;\;B=-3.\]

Dus: \(y_p(x)=2x-3\) is een particuliere oplossing. De algemene oplossing is dan: \(y(x)=2x-3+c_1e^{-x}+c_2e^{-2x}\) met \(c_1,c_2\in\mathbb{R}\).

8) Als \(y''+4y'+5y=25x^2\), dan is \(y_h(x)=c_1e^{-2x}\cos(x)+c_2e^{-2x}\sin(x)\). Stel nu \(y_p(x)=Ax^2+Bx+C\), dan volgt: \(y_p'(x)=2Ax+B\) en \(y_p''(x)=2A\). Invullen geeft dan:

\[2A+8Ax+4B+5Ax^2+5Bx+5C=25x^2\quad\Longleftrightarrow\quad 5A=25,\;\;8A+5B=0\;\;\text{en}\;\;2A+4B+5C=0.\]

Hieruit volgt dat \(A=5\), \(B=-8\) en \(C=\frac{22}{5}\). Dus: \(y_p(x)=5x^2-8x+\frac{22}{5}\) is een particuliere oplossing. De algemene oplossing is dan: \(y(x)=5x^2-8x+\frac{22}{5}+c_1e^{-2x}\cos(x)+c_2e^{-2x}\sin(x)\) met \(c_1,c_2\in\mathbb{R}\).

9) Als \(y''+4y'=8x\), dan is \(y_h(x)=c_1+c_2e^{-4x}\). Stel nu \(y_p(x)=Ax^2+Bx\), dan volgt: \(y_p(x)=2Ax+B\) en \(y_p''(x)=2A\). Invullen geeft dan:

\[2A+8Ax+4B=8x\quad\Longleftrightarrow\quad 8A=8\;\;\text{en}\;\;2A+4B=0\quad\Longleftrightarrow\quad A=1\;\;\text{en}\;\;B=-\tfrac{1}{2}.\]

Dus: \(y_p(x)=x^2-\frac{1}{2}x\) is een particuliere oplossing. De algemene oplossing is dan: \(y(x)=x^2-\frac{1}{2}x+c_1+c_2e^{-4x}\).

10) Als \(y''-3y'+2y=10\cos(x)\), dan is \(y_h(x)=c_1e^x+c_2e^{2x}\). Stel nu \(y_p(x)=A\cos(x)+B\sin(x)\), dan volgt: \(y_p(x)=-A\sin(x)+B\cos(x)\) en \(y_p''(x)=-A\cos(x)-B\sin(x)\). Invullen geeft dan:

\begin{align*} &-A\cos(x)-B\sin(x)+3A\sin(x)-3B\cos(x)+2A\cos(x)+2B\sin(x)=10\cos(x)\\[2.5mm] &{}\hspace{10mm}\Longleftrightarrow\quad (A-3B)\cos(x)+(3A+B)\sin(x)=10\cos(x)\\[2.5mm] &{}\hspace{10mm}\Longleftrightarrow\quad A-3B=10\;\;\text{en}\;\;3A+B=0. \end{align*}

Hieruit volgt dat \(A=1\) en \(B=-3\). Dus: \(y_p(x)=\cos(x)-3\sin(x)\) is een particuliere oplossing. De algemene oplossing is dan: \(y(x)=\cos(x)-3\sin(x)+c_1e^x+c_2e^{2x}\) met \(c_1,c_2\in\mathbb{R}\).

11) Als \(y''+2y'+5y=17\sin(2x)\), dan is \(y_h(x)=c_1e^{-x}\cos(2x)+c_2e^{-x}\sin(2x)\). Stel nu \(y_p(x)=A\cos(2x)+B\sin(2x)\), dan volgt: \(y_p'(x)=-2A\sin(2x)+2B\cos(2x)\) en \(y_p''(x)=-4A\cos(2x)-4B\sin(2x)\). Invullen geeft dan:

\begin{align*} &-4A\cos(2x)-4B\sin(2x)-4A\sin(2x)+4B\cos(2x)+5A\cos(2x)+5B\sin(2x)=17\sin(2x)\\[2.5mm] &{}\hspace{10mm}\Longleftrightarrow\quad(A+4B)\cos(2x)+(-4A+B)\sin(2x)=17\sin(2x)\\[2.5mm] &{}\hspace{10mm}\Longleftrightarrow\quad A+4B=0\;\;\text{en}\;\;-4A+B=17. \end{align*}

Hieruit volgt dat \(A=-4\) en \(B=1\). Dus: \(y_p(x)=-4\cos(2x)+\sin(2x)\) is een particuliere oplossing. De algemene oplossing is dan: \(y(x)=-4\cos(2x)+\sin(2x)+c_1e^{-x}\cos(2x)+c_2e^{-x}\sin(2x)\) met \(c_1,c_2\in\mathbb{R}\).

12) Als \(y''+9y=6\sin(3x)\), dan is \(y_h(x)=c_1\cos(3x)+c_2\sin(3x)\). Stel nu \(y_p(x)=Ax\cos(3x)+Bx\sin(3x)\), dan volgt: \(y_p'(x)=A\left(\cos(3x)-3x\sin(3x)\right)+B\left(\sin(3x)+3x\cos(3x)\right)\) en \(y_p''(x)=A\left(-6\sin(3x)-9x\cos(3x)\right)+B\left(6\cos(3x)-9x\sin(3x)\right)\). Invullen geeft dan:

\begin{align*} &A\left(-6\sin(3x)-9x\cos(3x)\right)+B\left(6\cos(3x)-9x\sin(3x)\right)+9Ax\cos(3x)+9Bx\sin(3x)=6\sin(3x)\\[2.5mm] &{}\hspace{10mm}\Longleftrightarrow\quad-6A\sin(3x)+6B\cos(3x)=6\sin(3x)\quad\Longleftrightarrow\quad A=-1\;\;\text{en}\;\;B=0. \end{align*}

Dus: \(y_p(x)=-x\cos(3x)\) is een particuliere oplossing. De algemene oplossing is dan: \(y(x)=-x\cos(3x)+c_1\cos(3x)+c_2\sin(3x)\) met \(c_1,c_2\in\mathbb{R}\).

De methode van variatie van de constanten vindt u hier.

---

Laatst gewijzigd op 8 maart 2021