Analyse – Tweede orde differentiaalvergelijkingen – Homogene lineaire differentiaalvergelijkingen

Een homogene tweede orde lineaire differentiaalvergelijking heeft de vorm

\[P(x)y''(x)+Q(x)y'(x)+R(x)y(x)=0,\]

waarbij \(P\), \(Q\) en \(R\) continue functies zijn met \(P(x)\not\equiv0\). Dan geldt:

Stelling: Als \(y_1(x)\) en \(y_2(x)\) beide oplossingen zijn, dan is \(y(x)=c_1y_1(x)+c_2y_2(x)\) ook een oplossing voor alle \(c_1,c_2\in\mathbb{R}\).

Bewijs: Omdat \(y_1(x)\) en \(y_2(x)\) beide oplossingen zijn, geldt dat

\[P(x)y_1''(x)+Q(x)y_1'(x)+R(x)y_1(x)=0\quad\text{en}\quad P(x)y_2''(x)+Q(x)y_2'(x)+R(x)y_2(x)=0.\]

Laat \(y(x)=c_1y_1(x)+c_2y_2(x)\), dan volgt dat

\begin{align*} P(x)y''(x)+Q(x)y'(x)+R(x)y(x)&=P(x)\left[c_1y_1''(x)+c_2y_2''(x)\right]+Q(x)\left[c_1y_1'(x)+c_2y_2'(x)\right] +R(x)\left[c_1y_1(x)+c_2y_2(x)\right]\\[5mm] &=c_1\left[P(x)y_1''(x)+Q(x)y_1'(x)+R(x)y_1(x)\right]+c_2\left[P(x)y_2''(x)+Q(x)y_2'(x)+R(x)y_2(x)\right]\\[5mm] &=c_1\cdot0+c_2\cdot0=0. \end{align*}

Stelling: Als \(y_1(x)\) en \(y_2(x)\) lineair onafhankelijke oplossingen zijn op een interval, en \(P(x)\) is daar nergens \(0\), dan wordt de algemene oplossing gegeven door \(y(x)=c_1y_1(x)+c_2y_2(x)\), waarbij \(c_1\) en \(c_2\) willekeurige constanten zijn.

In het geval van een homogene tweede orde lineaire differentiaalvergelijking met constante coëfficiënten

\[ay''+by'+cy=0,\quad a,b,c\in\mathbb{R},\quad a\neq0,\]

proberen we \(y=e^{rx}\) als een oplossing, dan volgt \(y'=re^{rx}\) en \(y''=t^2e^{rx}\), en leidt substitutie tot

\[ar^2e^{rx}+bre^{rx}+ce^{rx}=0\quad\Longleftrightarrow\quad e^{rx}\left(ar^2+br+c\right)=0.\]

Omdat \(e^{rx}\neq0\) volgt hieruit de karakteristieke vergelijking

\[ar^2+br+c=0,\quad a,b,c\in\mathbb{R},\quad a\neq0.\]

Nu onderscheiden we drie mogelijkheden voor de discriminant \(D=b^2-4ac\): \(D>0\), \(D=0\) en \(D<0\).

Als \(D>0\) dan heeft de karakteristieke vergelijking twee verschillende reële oplossingen, zeg \(r_1\) en \(r_2\). De algemene oplossing is dan \(y(x)=c_1e^{r_1x}+c_2e^{r_2x}\).

Als \(D=0\) dan heeft de karakteristieke vergelijking twee samenvallende oplossingen \(r_1=r_2=r\). We hebben in dat geval dus maar één lineair onafhankelijke oplossing \(y=r^{rx}\). Echter, dan is ook \(y=xe^{rx}\) een oplossing. Om dit in te zien, merken we op dat zowel \(ar^2+br+c=0\) als \(2ar+b=0\). Als we dan \(y=xe^{rx}\), \(y'=(rx+1)e^{rx}\) en \(y''=(r^2x+2r)e^{rx}\) substitueren, dan vinden we dat

\[ay''+by'+cy=a(r^2x+2r)e^{rx}+b(rx+1)e^{rx}+cxe^{rx}=(ar^2+br+c)xe^{rx}+(2ar+b)e^{rx}=0+0=0.\]

Omdat \(y_1=e^{rx}\) en \(y_2=xe^{rx}\) lineair onafhankelijk zijn, is de algemene oplossing in dit geval \(y(x)=c_1e^{rx}+c_2xe^{rx}\).

Als \(D<0\) dan heeft de karakteristieke vergelijking een complex geconjugeerd paar als oplossingen, zeg \(r=\alpha\pm i\beta\) met \(\beta\neq0\). Hieruit volgt dat de algemene (complexe) oplossing een (complexe) lineaire combinatie is van

\[e^{(\alpha+i\beta)x}=e^{\alpha x}\cdot e^{i\beta x}=e^{\alpha x}\left(\cos(\beta x)+i\sin(\beta x)\right)\quad\text{en}\quad e^{(\alpha-i\beta)x}=e^{\alpha x}\cdot e^{-i\beta x}=e^{\alpha x}\left(\cos(\beta x)-i\sin(\beta x)\right).\]

Merk op dat het mogelijk is om bepaalde (complexe) lineaire combinaties te kiezen zodat \(e^{\alpha x}\cos(\beta x)\) en \(e^{\alpha x}\sin(\beta x)\) oplossingen zijn. Deze oplossingen zijn reëel en lineair onafhankelijk. Hieruit volgt dat in dit geval de algemene oplossing is \(y(x)=c_1e^{\alpha x}\cos(\beta x)+c_1e^{\alpha x}\sin(\beta x)\).

Resumé: als \(r_1\) en \(r_2\) de twee oplossingen zijn van de karakteristieke vergelijking, dan

1. als \(r_1,r_2\in\mathbb{R}\) met \(r_1\neq r_2\), dan: \(y(x)=c_1e^{r_1x}+c_2e^{r_2x}\) met \(c_1,c_2\in\mathbb{R}\),


2. als \(r_1,r_2\in\mathbb{R}\) met \(r_1=r_2=r\), dan: \(y(x)=c_1e^{rx}+c_2xe^{rx}\) met \(c_1,c_2\in\mathbb{R}\),


3. als \(r_1,r_2\notin\mathbb{R}\), dus \(r_{1,2}=\alpha\pm i\beta\) met \(\beta\neq0\), dan: \(y(x)=c_1e^{\alpha x}\cos(\beta x)+c_2e^{\alpha x}\sin(\beta x)\) met \(c_1,c_2\in\mathbb{R}\).

Voorbeelden:

1. \(y''-2y'-8y=0\) heeft karakteristieke vergelijking \(r^2-2r-8=0\;\Longleftrightarrow\;(r-4)(r+2)=0\),
   dus: \(y(x)=c_1e^{-2x}+c_2e^{4x}\) met \(c_1,c_2\in\mathbb{R}\),


2. \(y''+6y'+9y=0\) heeft karakteristieke vergelijking \(r^2+6r+9=0\;\Longleftrightarrow\;(r+3)^2=0\),
   dus: \(y(x)=c_1e^{-3x}+c_2xe^{-3x}\) met \(c_1,c_2\in\mathbb{R}\),


3. \(y''-4y'+13y=0\) heeft karakteristieke vergelijking \(r^2-4r+13=0\;\Longleftrightarrow\;(r-2)^2+9=0\),
   dus: \(y(x)=c_1e^{2x}\cos(3x)+c_2e^{2x}\sin(3x)\) met \(c_1,c_2\in\mathbb{R}\).

---

Laatst gewijzigd op 8 maart 2021