OnderwijsDifferentiaalvergelijkingen – Gewone differentiaalvergelijkingen – Ordeverlaging
De methode van ordeverlaging is gebaseerd op hetzelfde principe als de methode van variatie van de constante die we bij eerste orde lineaire differentiaalvergelijkingen hebben gezien. In dat geval wordt de willekeurige integratieconstante in de algemene oplossing van de homogene differentiaalvergelijking vervangen door een functie om een particuliere oplossing (of de algemene oplossing) van de inhomogene differentiaalvergelijking te vinden.
De methode kan ook worden gebruikt om een tweede, lineair onafhankelijke, oplossing te vinden van een homogene tweede orde lineaire differentiaalvergelijking met constante coëfficiënten waarvan het karakteristieke polynoom twee samenvallende reële nulpunten heeft.
Voorbeeld: Beschouw \(y''(t)+4y'(t)+4y(t)=0\) met karakteristieke vergelijking \(r^2+4r+4=0\) oftewel \((r+2)^2=0\). Dus: \(y(t)=ce^{-2t}\) is een oplossing voor iedere \(c\in\mathbb{R}\). Stel nu:
\[y(t)=u(t)e^{-2t}\quad\Longrightarrow\quad y'(t)=u'(t)e^{-2t}-2u(t)e^{-2t}\quad\Longrightarrow\quad y''(t)=u''(t)e^{-2t}-4u'(t)e^{-2t}+4u(t)e^{-2t}.\]Invullen geeft dan:
\[u''(t)e^{-2t}-4u'(t)e^{-2t}+4u(t)e^{-2t}+4u'(t)e^{-2t}-8u(t)e^{-2t}+4u(t)e^{-2t}=0\quad\Longrightarrow\quad u''(t)=0.\]Hieruit volgt dat \(u(t)=c_1+c_2t\). Ten slotte volgt dan: \(y(t)=u(t)e^{-2t}=c_1e^{-2t}+c_2te^{-2t}\).
Als we hetzelfde principe toepassen op een Euler vergelijking waarvan de karakteristieke vergelijking twee samenvallende reële oplossingen heeft, dan wordt de naam methode van ordeverlaging duidelijker.
Voorbeeld: Beschouw \(t^2y''(t)+7ty'(t)+9y(t)=0\) met \(t>0\). De karakteristieke vergelijking is: \(r(r-1)+7r+9=0\) oftewel \((r+3)^2=0\). Dus: \(y(t)=ct^{-3}\) is een oplossing voor ieder \(c\in\mathbb{R}\). Stel nu:
\[y(t)=u(t)t^{-3}\quad\Longrightarrow\quad y'(t)=u'(t)t^{-3}-3u(t)t^{-4}\quad\Longrightarrow\quad y''(t)=u''(t)t^{-3}-6u'(t)t^{-4}+12u(t)t^{-5}.\]Invullen geeft dan:
\[t^{-1}u''(t)-6t^{-2}u'(t)+12t^{-3}u(t)+7t^{-2}u'(t)-21t^{-3}u(t)+9t^{-3}u(t)=0\quad\Longrightarrow\quad tu''(t)+u'(t)=0.\]Stel nu \(u'(t)=v(t)\), dan volgt: \(tv'(t)+v(t)=0\). Dit is een eerste orde differentiaalvergelijking, hetgeen de naam ordeverlaging verklaart. Deze differentiaalvergelijking is separabel en heeft als algemene oplossing \(v(t)=\displaystyle\frac{c_2}{t}\). Hieruit volgt dat \(u(t)=c_1+c_2\ln(t)\). Ten slotte volgt dan: \(y(t)=u(t)t^{-3}=c_1t^{-3}+c_2t^{-3}\ln(t)\).
Dit principe werkt algemeen: als \(u(t)\) een constante is, dan is het een oplossing van de homogene differentiaalvergelijking. In dat geval zouden de afgeleiden van \(u(t)\) allemaal nul zijn. Dat betekent dat in het algemene geval alle termen zonder afgeleiden van \(u(t)\) wegvallen. Bij een tweede orde differentiaalvergelijking blijven dan alleen termen over met \(u'(t)\) en \(u''(t)\) (de termen met \(u(t)\) zijn dan weggevallen). Voor de onbekende functie \(v(t)=u'(t)\) ontstaat er dan een eerste orde differentiaalvergelijking. De methode van orderverlaging kan nu algemeen worden gebruikt om een tweede, lineaire onafhankelijke, oplossing (of de algemene oplossing) van een homogene tweede orde lineaire differentiaalvergelijking te vinden als er één oplossing bekend is.
Voorbeelden:
1) Beschouw \(t^2y''(t)-t(t+2)y'(t)+(t+2)y(t)=0\) met \(t>0\). Merk op dat \(y(t)=t\) een oplossing is. Stel nu:
\[y(t)=tu(t)\quad\Longrightarrow\quad y'(t)=tu'(t)+u(t)\quad\Longrightarrow\quad y''(t)=tu''(t)+2u'(t).\]Invullen geeft dan:
\[t^3u''(t)+2t^2u'(t)-t^2(t+2)u'(t)-t(t+2)u(t)+t(t+2)u(t)=0\quad\Longrightarrow\quad t^3(u''(t)+u'(t))=0\quad\Longrightarrow\quad u''(t)-u'(t)=0.\]Stel nu \(v(t)=u'(t)\), dan volgt: \(v'(t)-v(t)=0\). Dus: \(v(t)=c_2e^t\). Hieruit volgt dat \(u(t)=c_1+c_2e^t\). Ten slotte volgt dan: \(y(t)=tu(t)=c_1t+c_2te^t\).
2) Beschouw \(ty''(t)-(1+2t)y'(t)+(1+t)y(t)=0\) met \(t>0\). Merk op dat \(y(t)=e^t\) een oplossing is. Stel nu:
\[y(t)=e^tu(t)\quad\Longrightarrow\quad y'(t)=e^tu'(t)+e^tu(t)\quad\Longrightarrow\quad y''(t)=e^tu''(t)+2e^tu'(t)+e^tu(t).\]Invullen geeft dan:
\[te^tu''(t)+2te^tu'(t)+te^tu(t)-(1+2t)e^tu'(t)-(1+2t)e^tu(t)+(1+t)e^tu(t)=0\quad\Longrightarrow\quad tu''(t)-u'(t)=0.\]Stel nu \(v(t)=u'(t)\), dan volgt: \(tv'(t)-v(t)=0\). Dus: \(v(t)=c_2t\). Hieruit volgt dat \(u(t)=c_1+\frac{1}{2}c_2t^2\). Ten slotte volgt dan: \(y(t)=tu(t)=c_1e^t+\frac{1}{2}c_2t^2e^t\).
Laatst gewijzigd op 19 april 2021
