Differentiaalvergelijkingen – Partiële differentiaalvergelijkingen – Warmtevergelijking

De warmte- of diffusievergelijking is: \(\alpha^2 u_{xx}=u_t\) voor \(0 < x < L\) en \(t>0\).

Hierbij is \(u=u(x,t)\) een functie van twee variabelen (de plaatsvariabele \(x\) en de tijdsvariabele \(t\)). Dit beschrijft bijvoorbeeld de temperatuur in een metalen staafje met lengte \(L > 0\) waarvan de dikte te verwaarlozen is. De positieve constante \(\alpha^2\) heet de diffusieconstante en is afhankelijk van de geleidende eigenschappen van het staafje. Op tijdstip \(t=0\) heerst er een zekere begintemperatuurverdeling in het staafje, beschreven door de functie \(f(x)\) voor \(0\leq x\leq L\). Het staafje wordt over de gehele lengte geïsoleerd zodat er alleen warmte-uitwisseling kan plaatsvinden aan de twee uiteinden (bij \(x=0\) en bij \(x=L\)). De temperatuur kan zowel positief als negatief zijn; bijvoorbeeld een bepaalde waarde boven of juist onder een vaste waarde (het nulniveau).

Als op beide uiteinden een warmtebron is aangesloten met een vaste temperatuur, dan kan deze temperatuur als het nulniveau worden gekozen. Dit leidt tot het volgende beginrandwaardeprobleem met homogene randvoorwaarden:

\[\left\{\begin{array}{l}\alpha^2u_{xx}=u_t,\quad 0 < x < L,\quad t>0\\[2.5mm] u(0,t)=0,\quad u(L,t)=0,\quad t > 0\\[2.5mm] u(x,0)=f(x),\quad 0\leq x\leq L.\end{array}\right.\]

We gebruiken de methode van scheiden van variabelen: stel dat \(u(x,t)=X(x)T(t)\), dan volgt:

\[\alpha^2u_{xx}=u_t\quad\Longleftrightarrow\quad \alpha^2X''(x)T(t)=X(x)T'(t).\]

Voor \(u(x,t)=X(x)T(t)\neq 0\) geldt nu (delen door \(X(x)T(t)\)): \(\displaystyle\frac{X''(x)}{X(x)}=\frac{1}{\alpha^2}\cdot\frac{T'(t)}{T(t)}\). Het linkerlid hangt alleen van \(x\) af (en niet van \(t\)), terwijl het rechterlid alleen van \(t\) afhangt (en niet van \(x\)). Die kunnen daarom alleen aan elkaar gelijk zijn voor alle \(x\in(0,L)\) en \(t>0\) als ze constant zijn. Dus:

\[\frac{X''(x)}{X(x)}=\frac{1}{\alpha^2}\cdot\frac{T'(t)}{T(t)}=\sigma\quad(\text{separatieconstante}).\]

Hieruit volgt:

\[X''(x)-\sigma X(x)=0\quad\text{en}\quad T'(t)-\sigma\alpha^2 T(t)=0.\]

Dit zijn gewone differentiaalvergelijkingen voor \(X(x)\) en voor \(T(t)\). Uit de randvoorwaarden volgt (met \(T(t)\neq 0\)):

\[u(0,t)=0:\quad X(0)T(t)=0\quad\Longrightarrow\quad X(0)=0\quad\quad\text{en}\quad\quad u(L,t)=0:\quad X(L)T(t)=0\quad\Longrightarrow\quad X(L)=0.\]

Dit leidt tot het homogene randwaardeprobleem

\[\left\{\begin{array}{l}X''(x)-\sigma X(x)=0,\quad 0 < x < L\\[2.5mm]X(0)=0,\quad X(L)=0.\end{array}\right.\]

We onderscheiden drie mogelijkheden: \(\sigma=0\), \(\sigma > 0\) en \(\sigma < 0\):

• \(\sigma=0\): \(X''(x)=0\;\Longrightarrow\;X(x)=a_1x+a_2\). Uit \(X(0)=0\) en \(X(L)=0\) volgt dan: \(a_2=0\) en \(a_1L+a_2=0\). Dus: \(a_1=a_2=0\) (de triviale oplossing).


• \(\sigma=\mu^2 > 0\): \(X''(x)-\mu^2X(x)=0\;\Longrightarrow\;X(x)=b_1\cosh(\mu x)+b_2\sinh(\mu x)\). Uit \(X(0)=0\) en \(X(L)=0\) volgt dan: \(b_1=0\) en \(b_1\cosh(\mu L)+b_2\sinh(\mu L)=0\). Dus: \(b_1=b_2=0\) (de triviale oplossing), want \(\mu L\neq 0\) (en dus: \(\sinh(\mu L)\neq 0\)).


• \(\sigma=-\mu^2 < 0\): \(X''(x)+\mu^2X(x)=0\;\Longrightarrow\;X(x)=c_1\cos(\mu x)+c_2\sin(\mu x)\). Uit \(X(0)=0\) en \(X(L)=0\) volgt dan: \(c_1=0\) en \(c_1\cos(\mu L)+c_2\sin(\mu L)=0\). Er zijn dus niet-triviale oplossingen als \(\sin(\mu L)=0\), dus als \(\mu L=\pm n\pi\) met \(n\in\{1,2,3,\ldots\}\).

Er zijn dus alleen niet-triviale oplossingen voor \(\sigma_n=-\mu_n^2 < 0\) met \(\mu_n=\displaystyle\frac{n\pi}{L},\;n=1,2,3,\ldots\).

Dit leidt tot de eigenwaarden \(\displaystyle\sigma_n=-\frac{n^2\pi^2}{L^2}\;n=1,2,3,\ldots\) en de eigenfuncties \(X_n(x)=\displaystyle\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right),\;n=1,2,3,\ldots\).

Voor \(T(t)\) volgt dan: \(T_n'(t)-\sigma_n\alpha^2 T_n(t)=0\) met eigenfuncties \(T_n(t)=\displaystyle\exp\left(-\frac{n^2\pi^2\alpha^2t}{L^2}\right)\).

Dan volgt: \(u_n(x,t)=X_n(x)T_n(t)=\displaystyle\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)e^{-\frac{n^2\pi^2\alpha^2t}{L^2}},\;n=1,2,3,\ldots\). Nu gebruiken we het superpositieprincipe:

\[u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}c_nu_n(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}c_n\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)e^{-\frac{n^2\pi^2\alpha^2t}{L^2}}.\]

Ten slotte volgt dan uit de beginvoorwaarde voor \(0\leq x\leq L\):

\[u(x,0)=f(x)\quad\Longleftrightarrow\quad\sum_{n=1}^{\infty}c_n\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)=f(x).\]

Dit is een Fourier sinusreeks voor \(f(x)\). Met behulp van de Euler-Fourier formules volgt dan:

\[c_n=\frac{2}{L}\int_0^Lf(x)\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\,dx,\quad n=1,2,3,\ldots.\]

Andere warmteproblemen

1) Als op de uiteinden warmtebronnen zijn aangesloten met verschillende temperaturen, zeg \(T_1\) en \(T_2\) met \(T_1\neq T_2\), dan volgt:

\[\left\{\begin{array}{l}\alpha^2u_{xx}=u_t,\quad 0 < x < L,\quad t>0\\[2.5mm] u(0,t)=T_1,\quad u(L,t)=T_2,\quad t > 0\\[2.5mm] u(x,0)=f(x),\quad 0\leq x\leq L.\end{array}\right.\]

Nu hebben we inhomogene randvoorwaarden als \(T_1\neq 0\) of \(T_2\neq 0\)>.

Stel dat \(u(x,t)=v(x)+w(x,t)\) met \(v(x)=\displaystyle\frac{T_2-T_1}{L}x+T_1\), dan volgt: \(v(0)=T_1\) en \(v(L)=T_2\) en dus

\[\left\{\begin{array}{l}\alpha^2w_{xx}=w_t,\quad 0 < x < L,\quad t>0\\[2.5mm] w(0,t)=0,\quad w(L,t)=0,\quad t\geq 0\\[2.5mm] w(x,0)=f(x)-w(x),\quad 0\leq x\leq L.\end{array}\right.\]

Dit is weer hetzelfde beginrandwaardeprobleem als hierboven met homogene randvoorwaarden.

2) Als beide uiteinden worden geïsoleerd, dan vindt er ook geen warmte-uitwisseling plaats aan die uiteinden:

\[\left\{\begin{array}{l}\alpha^2u_{xx}=u_t,\quad 0 < x < L,\quad t>0\\[2.5mm] u_x(0,t)=0,\quad u_x(L,t)=0,\quad t > 0\\[2.5mm] u(x,0)=f(x),\quad 0\leq x\leq L.\end{array}\right.\]

In dat geval leidt de methode van scheiden van variabelen via \(u(x,t)=X(x)T(t)\neq 0\) tot \(T'(t)-\sigma\alpha^2 T(t)=0\) en het randwaardeprobleem

\[\left\{\begin{array}{l}X''(x)-\sigma X(x)=0,\quad 0 < x < L\\[2.5mm]X'(0)=0,\quad X'(L)=0.\end{array}\right.\]

We onderscheiden drie mogelijkheden: \(\sigma=0\), \(\sigma > 0\) en \(\sigma < 0\):

• \(\sigma=0\): \(X''(x)=0\;\Longrightarrow\;X(x)=a_1x+a_2\) en dus \(X'(x)=a_1\). Uit \(X'(0)=0\) en \(X'(L)=0\) volgt dan: \(a_1=0\) en \(a_2\in\mathbb{R}\) willekeurig. Dus: \(\sigma_0=0\) is een eigenwaarde met eigenfunctie \(X_0(x)=1\).


• \(\sigma=\mu^2 > 0\): \(X''(x)-\mu^2X(x)=0\;\Longrightarrow\;X(x)=b_1\cosh(\mu x)+b_2\sinh(\mu x)\) en dus \(X'(x)=\mu b_1\sinh(\mu x)+\mu b_2\cosh(\mu x)\). Uit \(X'(0)=0\) en \(X'(L)=0\) volgt dan: \(\mu b_2=0\) en \(\mu b_1\sinh(\mu L)+\mu b_2\sinh(\mu L)=0\). Dus: \(b_1=b_2=0\) (de triviale oplossing), want \(\mu L\neq 0\) (en dus: \(\sinh(\mu L)\neq 0\)).


• \(\sigma=-\mu^2 < 0\): \(X''(x)+\mu^2X(x)=0\;\Longrightarrow\;X(x)=c_1\cos(\mu x)+c_2\sin(\mu x)\) en dus \(X'(x)=-\mu c_1\sin(\mu x)+\mu c_2\cos(\mu x)\). Uit \(X'(0)=0\) en \(X'(L)=0\) volgt dan: \(\mu c_2=0\) en \(-\mu c_1\sin(\mu L)+\mu c_2\cos(\mu L)=0\). Er zijn dus ook niet-triviale oplossingen als \(\sin(\mu L)=0\), dus als \(\mu L=\pm n\pi\) met \(n\in\{1,2,3,\ldots\}\). Dit leidt tot de eigenwaarden \(\sigma_n=-\displaystyle\frac{n^2\pi^2}{L^2},\;n=1,2,3,\ldots\) en de eigenfuncties \(X_n(x)=\displaystyle\cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right),\;n=1,2,3,\ldots\).

Nu volgt:

\[u(x,t)=\frac{c_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}c_n\cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right)e^{-\frac{n^2\pi^2\alpha^2t}{L^2}}.\]

Uit de beginvoorwaarde volgt dan voor \(0\leq x\leq L\):

\[u(x,0)=f(x)\quad\Longleftrightarrow\quad\frac{c_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}c_n\cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right)=f(x).\]

Dit is een Fourier cosinusreeks voor \(f(x)\). Met behulp van de Euler-Fourier formules volgt dan:

\[c_0=\frac{2}{L}\int_0^Lf(x)\,dx\quad\text{en}\quad c_n=\frac{2}{L}\int_0^Lf(x)\cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\,dx,\quad n=1,2,3,\ldots.\]

Er zijn ook andere combinaties mogelijk; een warmtebron op het ene uiteinde en het andere uiteinde geïsoleerd, bijvoorbeeld.

De tweedimensionale warmte- of diffusievergelijking is: \(\alpha^2\left(u_{xx}+u_{yy}\right)=u_t\) met \(u=u(x,y,t)\).

Hiervoor kunnen we ook de methode van scheiden van variabelen gebruiken: stel dat \(u(x,y,t)=X(x)Y(y)T(t)\), dan volgt:

\[\alpha^2\left(u_{xx}+u_{yy}\right)=u_t\quad\Longleftrightarrow\quad \alpha^2\left(X''(x)Y(y)T(t)+X(x)Y''(y)T(t)\right)=X(x)Y(y)T'(t)\]

Voor \(u(x,y,t)=X(x)Y(y)T(t)\neq 0\) geldt nu (delen door \(X(x)Y(y)T(t)\)): \(\displaystyle\frac{X''(x)}{X(x)}+\frac{Y''(y)}{Y(y)}=\frac{1}{\alpha^2}\cdot\frac{T'(t)}{T(t)}\). Het linkerlid hangt alleen van \(x\) en \(y\) af (en niet van \(t\)), terwijl het rechterlid alleen van \(t\) afhangt (en niet van \(x\) en \(y\)). Die kunnen daarom alleen aan elkaar gelijk zijn voor alle \(x\) en \(y\) in het domein en \(t>0\) als ze constant zijn. Dus:

\[\frac{X''(x)}{X(x)}+\frac{Y''(y)}{Y(y)}=\frac{1}{\alpha^2}\cdot\frac{T'(t)}{T(t)}=\sigma\quad(\text{separatieconstante}).\]

Hieruit volgt: \(T'(t)-\sigma\alpha^2 T(t)=0\) en \(\displaystyle\frac{X''(x)}{X(x)}=\sigma-\frac{Y''(y)}{Y(y)}\). Het linkerlid hangt alleen van \(x\) af (en niet van \(y\)), terwijl het rechterlid alleen van \(y\) afhangt (en niet van \(x\)). Die kunnen dus ook alleen aan elkaar gelijk zijn voor alle \(x\) en \(y\) in het domein als ze constant zijn, dus:

\[\frac{X''(x)}{X(x)}=\sigma-\frac{Y''(y)}{Y(y)}=\tau\quad(\text{separatieconstante}).\]

Dus:

\[X''(x)-\tau X(x)=0,\quad Y''(y)-(\sigma-\tau)Y(y)=0\quad\text{en}\quad T'(t)-\sigma\alpha^2 T(t)=0.\]

---

Laatst gewijzigd op 23 augustus 2021