Differentiaalvergelijkingen – Partiële differentiaalvergelijkingen – Golfvergelijking

De golfvergelijking is: \(a^2 u_{xx}=u_{tt}\) voor \(0 < x < L\) en \(t>0\).

Hierbij is \(u=u(x,t)\) een functie van twee variabelen (de plaatsvariabele \(x\) en de tijdsvariabele \(t\)). Dit beschrijft bijvoorbeeld de uitwijking van een trillende snaar met lengte \(L > 0\), waarvan de dikte te verwaarlozen is, ten opzichte van de evenwichtspositie. De positieve constante \(a^2\) heet de veerconstante en is afhankelijk van de eigenschappen van de snaar. Op tijdstip \(t=0\) heeft de snaar een bepaalde beginpositie en wordt eventueel losgelaten met een bepaalde beginsnelheid. Deze worden beschreven door een functie \(f(x)\) en een functie \(g(x)\) respectievelijk voor \(0\leq x\leq L\). Aangezien de uiteinden van de snaar gefixeerd zijn op de evenwichtspositie, leidt dat tot homogene randvoorwaarden. De uitwijking van de snaar kan zowel positief als negatief zijn; de snaar bevindt zich boven of onder de evenwichtspositie (de beweging wordt gezien als in het platte vlak).

Dit leidt tot het volgende beginrandwaardeprobleem met homogene randvoorwaarden:

\[\left\{\begin{array}{l}a^2u_{xx}=u_{tt},\quad 0 < x < L,\quad t>0\\[2.5mm] u(0,t)=0,\quad u(L,t)=0,\quad t > 0\\[2.5mm] u(x,0)=f(x),\quad u_t(x,0)=g(x),\quad 0\leq x\leq L.\end{array}\right.\]

We gebruiken de methode van scheiden van variabelen: stel dat \(u(x,t)=X(x)T(t)\), dan volgt:

\[a^2u_{xx}=u_{tt}\quad\Longleftrightarrow\quad a^2X''(x)T(t)=X(x)T''(t).\]

Voor \(u(x,t)=X(x)T(t)\neq 0\) geldt nu (delen door \(X(x)T(t)\)): \(\displaystyle\frac{X''(x)}{X(x)}=\frac{1}{a^2}\cdot\frac{T''(t)}{T(t)}\). Het linkerlid hangt alleen van \(x\) af (en niet van \(t\)), terwijl het rechterlid alleen van \(t\) afhangt (en niet van \(x\)). Die kunnen daarom alleen aan elkaar gelijk zijn voor alle \(x\in(0,L)\) en \(t>0\) als ze constant zijn. Dus:

\[\frac{X''(x)}{X(x)}=\frac{1}{a^2}\cdot\frac{T''(t)}{T(t)}=\sigma\quad(\text{separatieconstante}).\]

Hieruit volgt:

\[X''(x)-\sigma X(x)=0\quad\text{en}\quad T''(t)-\sigma a^2 T(t)=0.\]

Dit zijn gewone differentiaalvergelijkingen voor \(X(x)\) en voor \(T(t)\). Uit de randvoorwaarden volgt (met \(T(t)\neq 0\)):

\[u(0,t)=0:\quad X(0)T(t)=0\quad\Longrightarrow\quad X(0)=0\quad\quad\text{en}\quad\quad u(L,t)=0:\quad X(L)T(t)=0\quad\Longrightarrow\quad X(L)=0.\]

Dit leidt tot het homogene randwaardeprobleem

\[\left\{\begin{array}{l}X''(x)-\sigma X(x)=0,\quad 0 < x < L\\[2.5mm]X(0)=0,\quad X(L)=0.\end{array}\right.\]

We onderscheiden drie mogelijkheden: \(\sigma=0\), \(\sigma > 0\) en \(\sigma < 0\):

• \(\sigma=0\): \(X''(x)=0\;\Longrightarrow\;X(x)=a_1x+a_2\). Uit \(X(0)=0\) en \(X(L)=0\) volgt dan: \(a_2=0\) en \(a_1L+a_2=0\). Dus: \(a_1=a_2=0\) (de triviale oplossing).


• \(\sigma=\mu^2 > 0\): \(X''(x)-\mu^2X(x)=0\;\Longrightarrow\;X(x)=b_1\cosh(\mu x)+b_2\sinh(\mu x)\). Uit \(X(0)=0\) en \(X(L)=0\) volgt dan: \(b_1=0\) en \(b_1\cosh(\mu L)+b_2\sinh(\mu L)=0\). Dus: \(b_1=b_2=0\) (de triviale oplossing), want \(\mu L\neq 0\) (en dus: \(\sinh(\mu L)\neq 0\)).


• \(\sigma=-\mu^2 < 0\): \(X''(x)+\mu^2X(x)=0\;\Longrightarrow\;X(x)=c_1\cos(\mu x)+c_2\sin(\mu x)\). Uit \(X(0)=0\) en \(X(L)=0\) volgt dan: \(c_1=0\) en \(c_1\cos(\mu L)+c_2\sin(\mu L)=0\). Er zijn dus niet-triviale oplossingen als \(\sin(\mu L)=0\), dus als \(\mu L=\pm n\pi\) met \(n\in\{1,2,3,\ldots\}\).

Er zijn dus alleen niet-triviale oplossingen voor \(\sigma_n=-\mu_n^2 < 0\) met \(\mu_n=\displaystyle\frac{n\pi}{L},\;n=1,2,3,\ldots\).

Dit leidt tot de eigenwaarden \(\displaystyle\sigma_n=-\frac{n^2\pi^2}{L^2}\;n=1,2,3,\ldots\) en de eigenfuncties \(X_n(x)=\displaystyle\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right),\;n=1,2,3,\ldots\).

Voor \(T(t)\) volgt dan: \(T_n''(t)-\sigma_n a^2 T_n(t)=0\) met eigenfuncties \(T_n(t)=\displaystyle c_n\cos\left(\frac{n\pi at}{L}\right)+k_n\sin\left(\frac{n\pi at}{L}\right)\).

Dan volgt: \(u_n(x,t)=X_n(x)T_n(t)=\displaystyle\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\left(c_n\cos\left(\frac{n\pi at}{L}\right)+k_n\sin\left(\frac{n\pi at}{L}\right)\right),\;n=1,2,3,\ldots\). Nu gebruiken we het superpositieprincipe:

\[u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\left(c_n\cos\left(\frac{n\pi at}{L}\right)+k_n\sin\left(\frac{n\pi at}{L}\right)\right).\]

Dan volgt:

\[u_t(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\left(-\frac{n\pi a}{L}c_n\sin\left(\frac{n\pi at}{L}\right)+\frac{n\pi a}{L}k_n\sin\left(\frac{n\pi at}{L}\right)\right).\]

Uit de beginpositie volgt dan voor \(0\leq x\leq L\):

\[u(x,0)=f(x)\quad\Longleftrightarrow\quad\sum_{n=1}^{\infty}c_n\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)=f(x).\]

Dit is een Fourier sinusreeks voor \(f(x)\). Met behulp van de Euler-Fourier formules volgt dan:

\[c_n=\frac{2}{L}\int_0^Lf(x)\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\,dx,\quad n=1,2,3,\ldots.\]

Uit de beginsnelheid volgt dan voor \(0\leq x\leq L\):

\[u_t(x,0)=g(x)\quad\Longleftrightarrow\quad\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n\pi a}{L}k_n\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)=g(x).\]

Dit is een Fourier sinusreeks voor \(g(x)\). Met behulp van de Euler-Fourier formules volgt dan:

\[\frac{n\pi a}{L}k_n=\frac{2}{L}\int_0^Lg(x)\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\,dx,\quad n=1,2,3,\ldots.\]

In het geval van een beginsnelheid \(g(x)=0\) voor alle \(x\in[0,L]\) kunnen we de functie \(f(x)\) met \(0\leq x\leq L\) oneven voortzetten op het interval \((-L,0)\) en vervolgens periodiek met periode \(2L\), dus

\[h(x)=\left\{\begin{array}{rl}-f(-x),&-L < x <0\\[2.5mm]f(x),&o\leq x\leq L\end{array}\right.\quad\text{en}\quad h(x+2L)=h(x)\quad\text{voor alle}\;x\in\mathbb{R},\]

dan geldt:

\[h(x)=\sum_{n=1}^{\infty}c_n\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\quad\text{met}\quad c_n=\frac{2}{L}\int_0^Lf(x)\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\,dx,\quad n=1,2,3,\ldots.\]

Hieruit volgt dat

\[h(x-at)=\sum_{n=1}^{\infty}c_n\left(\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\cos\left(\frac{n\pi at}{L}\right)-\cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\sin\left(\frac{n\pi at}{L}\right)\right)\]

en

\[h(x+at)=\sum_{n=1}^{\infty}c_n\left(\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\cos\left(\frac{n\pi at}{L}\right)+\cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\sin\left(\frac{n\pi at}{L}\right)\right).\]

Hieruit volgt dat

\[\frac{1}{2}\left[h(x-at)+h(x+at)\right]=\sum_{n=1}^{\infty}c_n\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\cos\left(\frac{n\pi at}{L}\right)=u(x,t).\]

De oplossing kan dus geschreven worden als \(u(x,t)=\frac{1}{2}\left[h(x-at)+h(x+at)\right]\), waarbij \(h(x)\) de functie is, die uit \(f(x)\) wordt verkregen door deze oneven voort te zetten en periodiek met periode \(2L\).

Meer algemeen: stel dat \(u(x,t)=\varphi(x-at)+\psi(x+at)\), dan volgt dat

\[u_{xx}=\varphi''(x-at)+\psi''(x+at)\quad\text{en}\quad u_{tt}=(-a)^2\varphi''(x-at)+a^2\psi''(x+at).\]

Dus: \(u(x,t)=\varphi(x-at)+\psi(x+at)\) is een oplossing van \(a^2u_{xx}=u_{tt}\) voor iedere functie \(\varphi\) en iedere functie \(\psi\).

Dit is echter niet van praktisch nut bij het oplossen van een beginrandwaardeprobleem gebaseerd op zo’n golfvergelijking. Hiervoor kunnen we beter de methode van scheiden van variabelen gebruiken.

De tweedimensionale golfvergelijking is: \(a^2\left(u_{xx}+u_{yy}\right)=u_{tt}\) met \(u=u(x,y,t)\).

Hiervoor kunnen we ook de methode van scheiden van variabelen gebruiken: stel dat \(u(x,y,t)=X(x)Y(y)T(t)\), dan volgt:

\[\alpha^2\left(u_{xx}+u_{yy}\right)=u_{tt}\quad\Longleftrightarrow\quad \alpha^2\left(X''(x)Y(y)T(t)+X(x)Y''(y)T(t)\right)=X(x)Y(y)T''(t)\]

Voor \(u(x,y,t)=X(x)Y(y)T(t)\neq 0\) geldt nu (delen door \(X(x)Y(y)T(t)\)): \(\displaystyle\frac{X''(x)}{X(x)}+\frac{Y''(y)}{Y(y)}=\frac{1}{\alpha^2}\cdot\frac{T''(t)}{T(t)}\). Het linkerlid hangt alleen van \(x\) en \(y\) af (en niet van \(t\)), terwijl het rechterlid alleen van \(t\) afhangt (en niet van \(x\) en \(y\)). Die kunnen daarom alleen aan elkaar gelijk zijn voor alle \(x\) en \(y\) in het domein en \(t>0\) als ze constant zijn. Dus:

\[\frac{X''(x)}{X(x)}+\frac{Y''(y)}{Y(y)}=\frac{1}{\alpha^2}\cdot\frac{T''(t)}{T(t)}=\sigma\quad(\text{separatieconstante}).\]

Hieruit volgt: \(T''(t)-\sigma\alpha^2 T(t)=0\) en \(\displaystyle\frac{X''(x)}{X(x)}=\sigma-\frac{Y''(y)}{Y(y)}\). Het linkerlid hangt alleen van \(x\) af (en niet van \(y\)), terwijl het rechterlid alleen van \(y\) afhangt (en niet van \(x\)). Die kunnen dus ook alleen aan elkaar gelijk zijn voor alle \(x\) en \(y\) in het domein als ze constant zijn, dus:

\[\frac{X''(x)}{X(x)}=\sigma-\frac{Y''(y)}{Y(y)}=\tau\quad(\text{separatieconstante}).\]

Dus:

\[X''(x)-\tau X(x)=0,\quad Y''(y)-(\sigma-\tau)Y(y)=0\quad\text{en}\quad T''(t)-\sigma\alpha^2 T(t)=0.\]

---

Laatst gewijzigd op 23 augustus 2021