Differentiaalvergelijkingen – Partiële differentiaalvergelijkingen – Fourierreeksen

Een reeks van de vorm

\[\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right)+b_n\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\right),\quad L>0\]

heet een Fourierreeks. De functies \(\displaystyle\cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\) en \(\displaystyle\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\) zijn periodiek met periode \(2L\). Bovendien hebben deze een bijzondere orthogonaleitseigenschap:

Definieer een inwendig product: \(\langle f,g\rangle=\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}f(x)g(x)\,dx\) voor functies \(f\) en \(g\) gedefinieerd op het interval \((\alpha,\beta)\). Twee functies \(f\) en \(g\) heten dan orthogonaal als \(\langle f,g\rangle=0\).

Nu geldt voor \(m,n\in\{1,2,3,\ldots\}\):

\[\int_{-L}^L\cos\left(\frac{m\pi x}{L}\right)\cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\,dx=\left\{\begin{array}{ll}0,&m\neq n\\[2.5mm]L,&m=n,\end{array}\right.\] \[\int_{-L}^L\sin\left(\frac{m\pi x}{L}\right)\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\,dx=\left\{\begin{array}{ll}0,&m\neq n\\[2.5mm]L,&m=n\end{array}\right.\]

en

\[\int_{-L}^L\cos\left(\frac{m\pi x}{L}\right)\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\,dx=0.\]

Bewijs: Met behulp van \(\cos(a+b)=\cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b)\) volgt dat \(\cos(a)\cos(b)=\frac{1}{2}\left(\cos(a-b)+\cos(a+b)\right)\). Dus:

\begin{align*} \int_{-L}^L\cos\left(\frac{m\pi x}{L}\right)\cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\,dx &=\frac{1}{2}\int_{-L}^L\cos\left(\frac{(m-n)\pi x}{L}\right)\,dx+\frac{1}{2}\int_{-L}^L\cos\left(\frac{(m+n)\pi x}{L}\right)\,dx\\[2.5mm] &=\frac{1}{2}\left[\frac{L}{(m-n)\pi}\sin\left(\frac{(m-n)\pi x}{L}\right)+\frac{L}{(m+n)\pi}\sin\left(\frac{(m+n)\pi x}{L}\right)\right]_{-L}^L =0,\quad m\neq n \end{align*}

en voor \(m=n\) vinden we met \(\cos(2a)=2\cos^2(a)-1\):

\[\int_{-L}^L\left\{\cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\right\}^2\,dx=\frac{1}{2}\int_{-L}^L\left\{1+\cos\left(\frac{2n\pi x}{L}\right)\right\}\,dx =\frac{1}{2}\left[x+\frac{L}{2n\pi}\sin\left(\frac{2n\pi x}{L}\right)\right]_{-L}^L=L.\]

Evenzo volgt dat \(\sin(a)\sin(b)=\frac{1}{2}\left(\cos(a-b)-\cos(a+b)\right)\). Dus:

\begin{align*} \int_{-L}^L\sin\left(\frac{m\pi x}{L}\right)\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\,dx &=\frac{1}{2}\int_{-L}^L\cos\left(\frac{(m-n)\pi x}{L}\right)\,dx-\frac{1}{2}\int_{-L}^L\cos\left(\frac{(m+n)\pi x}{L}\right)\,dx\\[2.5mm] &=\frac{1}{2}\left[\frac{L}{(m-n)\pi}\sin\left(\frac{(m-n)\pi x}{L}\right)-\frac{L}{(m+n)\pi}\sin\left(\frac{(m+n)\pi x}{L}\right)\right]_{-L}^L =0,\quad m\neq n \end{align*}

en voor \(m=n\) vinden we met \(\cos(2a)=1-2\sin^2(a)\):

\[\int_{-L}^L\left\{\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\right\}^2\,dx=\frac{1}{2}\int_{-L}^L\left\{1-\cos\left(\frac{2n\pi x}{L}\right)\right\}\,dx =\frac{1}{2}\left[x-\frac{L}{2n\pi}\sin\left(\frac{2n\pi x}{L}\right)\right]_{-L}^L=L.\]

Ten slotte gebruiken we \(cos(a)\sin(b)=\frac{1}{2}\left(\sin(a+b)-\sin(a-b)\right)\):

\begin{align*} \int_{-L}^L\cos\left(\frac{m\pi x}{L}\right)\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\,dx &=\frac{1}{2}\int_{-L}^L\sin\left(\frac{(m+n)\pi x}{L}\right)\,dx-\frac{1}{2}\int_{-L}^L\sin\left(\frac{(m-n)\pi x}{L}\right)\,dx\\[2.5mm] &=\frac{1}{2}\left[-\frac{L}{(m+n)\pi}\cos\left(\frac{(m+n)\pi x}{L}\right)+\frac{L}{(m-n)\pi}\cos\left(\frac{(m-n)\pi x}{L}\right)\right]_{-L}^L =0,\quad m\neq n \end{align*}

en

\[\int_{-L}^L\cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\,dx=\frac{1}{2}\int_{-L}^L\sin\left(\frac{2n\pi x}{L}\right)\,dx=0.\]

De stelling van Fourier: Als \(f\) en \(f'\) stuksgewijs continu zijn op een interval \([-L,L)\) en \(f\) wordt buiten dat interval periodiek voortgezet met periode \(2L\), dan geldt:

\[f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right)+b_n\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\right)\]

met \(a_0=\displaystyle\frac{1}{L}\int_{-L}^Lf(x)\,dx\) en

\[a_n=\frac{1}{L}\int_{-L}^Lf(x)\cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\,dx\quad\text{en}\quad b_n=\frac{1}{L}\int_{-L}^Lf(x)\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\,dx.\]

Dit worden de Euler-Fourier formules genoemd. Verder geldt de relatie van Parseval: \(\displaystyle\frac{1}{L}\int_{-L}^L\left\{f(x)\right\}^2\,dx=\frac{a_0^2}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n^2+b_n^2\right)\). Immers:

\begin{align*} \frac{1}{L}\int_{-L}^L\left\{f(x)\right\}^2\,dx&=\frac{a_0}{2}\cdot\frac{1}{L}\int_{-L}^Lf(x)\,dx +\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cdot\frac{1}{L}\int_{-L}^Lf(x)\cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\,dx +b_n\cdot\frac{1}{L}\int_{-L}^Lf(x)\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\,dx\right)\\[2.5mm] &=\frac{a_0^2}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n^2+b_n^2\right). \end{align*}

De Fourierreeks convergeert in alle punten \(x\) naar \(\displaystyle\frac{f(x-)+f(x+)}{2}\), waarbij \(f(x-)=\lim\limits_{t\uparrow x}f(t)\) en \(f(x+)=\lim\limits_{t\downarrow x}f(t)\).
In punten \(x\), waar \(f\) continu is, geldt: \(\lim\limits_{t\uparrow x}f(t)=f(x)=\lim\limits_{t\downarrow x}f(t)\) en dus: \(\displaystyle\frac{f(x-)+f(x+)}{2}=f(x)\).

Definitie: Een functie \(f\) heet even als \(f(-x)=f(x)\) voor alle \(x\) in het domein van \(f\). Een functie \(f\) heet oneven als \(f(-x)=-f(x)\) voor alle \(x\) in het domein van \(f\). Zo'n functie moet dus gedefinieerd zijn op een symmetrisch interval rond \(0\).

Stelling: Als \(f\) oneven is, dan geldt: \(\displaystyle\int_{-L}^Lf(x)\,dx=0\). Als \(f\) even is, dan geldt: \(\displaystyle\int_{-L}^Lf(x)\,dx=2\int_0^Lf(x)\,dx\).

Verder gelden de volgende rekenregels:

• Als \(f\) even is en \(g\) is even, dan is \(f\cdot g\) even;


• Als \(f\) even is en \(g\) is oneven, dan is \(f\cdot g\) oneven;


• Als \(f\) oneven is en \(g\) is oneven, dan is \(f\cdot g\) even.

Gevolg: Als \(f\) even is, dan is \(\displaystyle\frac{1}{L}\int_{-L}^Lf(x)\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\,dx=0\) en \(\displaystyle\frac{1}{L}\int_{-L}^Lf(x)\cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\,dx=\frac{2}{L}\int_0^Lf(x)\cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\,dx\).
En als \(f\) oneven is, dan is \(\displaystyle\frac{1}{L}\int_{-L}^Lf(x)\cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\,dx=0\) en \(\displaystyle\frac{1}{L}\int_{-L}^Lf(x)\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\,dx=\frac{2}{L}\int_0^Lf(x)\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\,dx\).

Fourier cosinusreeks: Als \(f\) een even functie is op \((-L,L)\) en verder periodiek met periode \(2L\), dan geldt:

\[f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\]

met \(a_0=\displaystyle\frac{2}{L}\int_0^Lf(x)\,dx\) en \(a_n=\displaystyle\frac{2}{L}\int_0^Lf(x)\cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\,dx\) voor \(n=1,2,3,\ldots\).

Fourier sinusreeks: Als \(f\) een oneven functie is op \((-L,L)\) en verder periodiek met periode \(2L\), dan geldt:

\[f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}b_n\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\]

met \(b_n=\displaystyle\frac{2}{L}\int_0^Lf(x)\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\,dx\) voor \(n=1,2,3,\ldots\).

Als een functie \(f\) gedefinieerd is op een interval \([0,L]\) met \(L>0\), dan kan deze even worden voortgezet op het interval \([-L,L]\) en vervolgens periodiek met periode \(2L\), maar deze kan ook oneven worden voortgezet op het interval \([-L,L]\) en vervolgens periodiek met periode \(2L\). Zo'n functie kan dus als een Fourier cosinusreeks worden geschreven, maar ook als een Fourier sinusreeks:

\[f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right)=\sum_{n=1}^{\infty}b_n\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\]

met \(a_0=\displaystyle\frac{2}{L}\int_0^Lf(x)\,dx\), \(a_n=\displaystyle\frac{2}{L}\int_0^Lf(x)\cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\,dx\) en \(b_n=\displaystyle\frac{2}{L}\int_0^Lf(x)\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\,dx\) voor \(n=1,2,3,\ldots\).

---

Laatst gewijzigd op 23 augustus 2021