Differentiaalvergelijkingen – Partiële differentiaalvergelijkingen – Tweepunts randwaardeproblemen

Een beginwaardeprobleem

\[\left\{\begin{array}{l}y''(t)+p(t)y'(t)+q(t)y(t)=g(t),\quad t\in I\\[2.5mm] y(t_0)=y_0,\quad y'(t_0)=y_0'\quad\text{met}\quad t_0\in I.\end{array}\right.\]

is uniek oplosbaar.

Voor een randwaardeprobleem

\[\left\{\begin{array}{l}y''(x)+p(x)y'(x)+q(x)y(x)=g(x),\quad x\in(\alpha,\beta)\\[2.5mm] y(\alpha)=y_0,\quad y(\beta)=y_1\end{array}\right.\]

ligt dat anders: geen oplossingen, een unieke oplossing en oneindig veel oplossingen zijn allemaal mogelijk.

Definitie: Een randwaardeprobleem heet homogeen als zowel de differentiaalvergelijking als de randvoorwaarden homogeen zijn, dus: \(g(x)=0\) én \(y_0=0\) en \(y_1=0\).

Voorbeelden:

1) \(\left\{\begin{array}{l}y''(x)+2y(x)=0,\quad 0 < x < \pi\\[2.5mm]y(0)=1,\quad y(\pi)=0.\end{array}\right.\)

De algemene oplossing van de differentiaalvergelijking is: \(y(x)=c_1\cos(x\sqrt{2})+c_2\sin(x\sqrt{2})\). Uit de randvoorwaarden volgt nu: \(c_1=1\) en \(c_2=-\displaystyle\frac{\cos(\pi\sqrt{2})}{\sin(\pi\sqrt{2})}\). Er is dus precies één oplossing: \(y(x)=\cos(x\sqrt{2})-\displaystyle\frac{\cos(\pi\sqrt{2})}{\sin(\pi\sqrt{2})}\sin(x\sqrt{2})\).

2) \(\left\{\begin{array}{l}y''(x)+y(x)=0,\quad 0 < x < \pi\\[2.5mm]y(0)=1,\quad y(\pi)=a.\end{array}\right.\)

De algemene oplossing van de differentiaalvergelijking is: \(y(x)=c_1\cos(x)+c_2\sin(x)\). Uit de randvoorwaarden volgt nu: \(c_1=1\) en \(c_1=-a\). Voor \(a\neq -1\) zijn er dus geen oplossingen. Voor \(a=-1\) zijn er oneindig veel oplossingen: \(y(x)=\cos(x)+c_2\sin(x)\) met \(c_2\in\mathbb{R}\) willekeurig.

Homogene randwaardeproblemen (voorbeelden):

1) \(\left\{\begin{array}{l}y''(x)+2y(x)=0,\quad 0 < x < \pi\\[2.5mm]y(0)=0,\quad y(\pi)=0.\end{array}\right.\)

De algemene oplossing van de differentiaalvergelijking is: \(y(x)=c_1\cos(x\sqrt{2})+c_2\sin(x\sqrt{2})\). Uit de randvoorwaarden volgt nu: \(c_1=0\) en \(c_2=0\). Dus: \(y(x)=0\), alleen de triviale oplossing.

2) \(\left\{\begin{array}{l}y''(x)+y(x)=0,\quad 0 < x < \pi\\[2.5mm]y(0)=0,\quad y(\pi)=0.\end{array}\right.\)

De algemene oplossing van de differentiaalvergelijking is: \(y(x)=c_1\cos(x)+c_2\sin(x)\). Uit de randvoorwaarden volgt nu: \(c_1=0\) en \(c_2\in\mathbb{R}\). Dus: \(y(x)=c_2\sin(x)\) met \(c_2\in\mathbb{R}\), oneindig veel oplossingen.

Homogeen randwaardeprobleem (algemeen):

\[\left\{\begin{array}{l}y''(x)+\lambda y(x)=0,\quad 0 < x < \pi\\[2.5mm]y(0)=0,\quad y(\pi)=0.\end{array}\right.\]

1. \(\lambda=0\): \(y''(x)=0\;\;\Longrightarrow\;\;y(x)=a_1x+a_2\). Dan volgt: \(a_1=a_2=0\;\;\Longrightarrow\;\;y(x)=0\), de triviale oplossing.


2. \(\lambda=-\mu^2 < 0\): \(y(x)=b_1\cosh(\mu x)+b_2\sinh(\mu x)\). Dan volgt: \(b_1=b_2=0\;\;\Longrightarrow\;\;y(x)=0\), de triviale oplossing.


3. \(\lambda=\mu^2 > 0\): \(y(x)=c_1\cos(\mu x)+c_2\sin(\mu x)\). Dan volgt: \(c_1=0\) en \(c_2\sin(\mu\pi)=0\).

Als \(\mu=n\in\{1,2,3,\ldots\}\), dan volgt: \(\lambda_n=\mu_n^2=n^2\) (eigenwaarden) en eigenfuncties \(y_n(x)=\sin(n x)\) met \(n\in\{1,2,3,\ldots\}\).

Nog iets algemener:

\[\left\{\begin{array}{l}y''(x)+\lambda y(x)=0,\quad 0 < x < L\\[2.5mm] y(0)=0,\quad y(L)=0.\end{array}\right.\]

Eigenwaarden: \(\lambda_n=\displaystyle\frac{n^2\pi^2}{L^2}\) met \(n\in\{1,2,3,\ldots\}\). Eigenfuncties: \(y_n(x)=\displaystyle\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\) met \(n\in\{1,2,3,\ldots\}\).

---

Laatst gewijzigd op 23 augustus 2021