Lineaire Algebra – Stelsels lineaire vergelijkingen – Vectorvergelijkingen

Notaties voor vectoren in \(\mathbb{R}^n\) zijn: \(\mathbf{u}=\begin{pmatrix}u_1\\u_2\\\vdots\\u_n\end{pmatrix},\;\mathbf{v}=\begin{pmatrix}v_1\\v_2\\\vdots\\v_n\end{pmatrix} \;\Longrightarrow\;c\mathbf{u}+d\mathbf{v}=\begin{pmatrix}cu_1+dv_1\\cu_2+dv_2\\\vdots\\cu_n+dv_n\end{pmatrix}\) voor \(c,d\in\mathbb{R}\) en \(\mathbf{0}=\begin{pmatrix}0\\0\\\vdots\\0\end{pmatrix}\) heet de nulvector.

Als \(\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\ldots,\mathbf{v}_p\) vectoren in \(\mathbb{R}^n\) zijn en \(c_1,c_2,\ldots,c_p\) zijn getallen in \(\mathbb{R}\), dan heet \(c_1\mathbf{v}_1+c_2\mathbf{v}_2+\cdots+c_p\mathbf{v}_p\) een lineaire combinatie van de vectoren \(\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\ldots,\mathbf{v}_p\). De getallen \(c_1,c_2,\ldots,c_p\) heten de gewichten van de lineaire combinatie.

Stelling: Laat \(\mathbf{u}\), \(\mathbf{v}\), \(\mathbf{w}\) en \(\mathbf{0}\) vectoren in \(\mathbf{R}^n\) zijn en \(c\) en \(d\) getallen in \(\mathbb{R}\), dan geldt:

\(\mathbf{u}+\mathbf{v}=\mathbf{v}+\mathbf{u}\) \((\mathbf{u}+\mathbf{v})+\mathbf{w}=\mathbf{u}+(\mathbf{v}+\mathbf{w})\) \(\mathbf{u}+\mathbf{0}=\mathbf{0}+\mathbf{u}=\mathbf{u}\) \(\mathbf{u}+(-\mathbf{u})=-\mathbf{u}+\mathbf{u}=\mathbf{0},\;\text{waarbij}\;-\mathbf{u}=(-1)\mathbf{u}\)

\(c(\mathbf{u}+\mathbf{v})=c\mathbf{u}+c\mathbf{v}\) \((c+d)\mathbf{u}=c\mathbf{u}+d\mathbf{u}\) \(c(d\mathbf{u})=(cd)\mathbf{u}\) \(1\mathbf{u}=\mathbf{u}\)

Voorbeeld: Beschouw de vectoren \(\mathbf{a}_1=\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}\), \(\mathbf{a}_2=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}\), \(\mathbf{b}=\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}\) en \(\mathbf{c}=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}\). Zijn \(\mathbf{b}\) en \(\mathbf{c}\) lineaire combinaties van \(\mathbf{a}_1\) en \(\mathbf{a}_2\)?

\[x_1\mathbf{a}_1+x_2\mathbf{a}_2=\mathbf{b}\quad\Longleftrightarrow\quad x_1\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}+x_2\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix} \quad\Longleftrightarrow\quad\begin{pmatrix}x_1+x_2\\x_2\\-x_1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}.\]

Merk op dat dit correspondeert met een stelsel lineaire vergelijkingen:

\[\left\{\begin{array}{rrcr}x_1&+x_2&=&1\\&x_2&=&2\\-x_1&&=&1\end{array}\right.\quad\Longrightarrow\quad \left(\left.\begin{matrix}1&1\\0&1\\-1&0\end{matrix}\;\right|\;\begin{matrix}1\\2\\1\end{matrix}\right) \sim\left(\left.\begin{matrix}1&1\\0&1\\0&1\end{matrix}\;\right|\;\begin{matrix}1\\2\\2\end{matrix}\right) \sim\left(\left.\begin{matrix}1&0\\0&1\\0&0\end{matrix}\;\right|\;\begin{matrix}-1\\2\\0\end{matrix}\right).\]

Dus geldt: \(x_1=-1\) en \(x_2\), waaruit volgt dat \(\mathbf{b}=-\mathbf{a}_1+2\mathbf{a}_2\). Evenzo geldt:

\[y_1\mathbf{a}_1+y_2\mathbf{a}_2=\mathbf{c}\quad\Longleftrightarrow\quad\left\{\begin{array}{rrcr}y_1&+y_2&=&1\\&y_2&=&2\\-y_1&&=&3\end{array}\right. \quad\Longrightarrow\quad\left(\left.\begin{matrix}1&1\\0&1\\-1&0\end{matrix}\;\right|\;\begin{matrix}1\\2\\3\end{matrix}\right) \sim\left(\left.\begin{matrix}1&1\\0&1\\0&1\end{matrix}\;\right|\;\begin{matrix}1\\2\\4\end{matrix}\right) \sim\left(\left.\begin{matrix}1&0\\0&1\\0&0\end{matrix}\;\right|\;\begin{matrix}-1\\2\\2\end{matrix}\right).\]

We concluderen dat dit stelsel strijdig is, waaruit volgt dat \(\mathbf{c}\) geen lineaire combinaties van \(\mathbf{a}_1\) en \(\mathbf{a}_2\) is.

Omdat beide berekeningen hierboven vergelijkbaar zijn (dezelfde rijoperaties), hadden we deze ook kunnen combineren:

\[\left(\left.\begin{matrix}1&1\\0&1\\-1&0\end{matrix}\;\right|\;\begin{matrix}1&1\\2&2\\1&3\end{matrix}\right) \sim\left(\left.\begin{matrix}1&1\\0&1\\0&1\end{matrix}\;\right|\;\begin{matrix}1&1\\1&2\\2&4\end{matrix}\right) \sim\left(\left.\begin{matrix}1&0\\0&1\\0&0\end{matrix}\;\right|\;\begin{matrix}-1&-1\\2&2\\0&2\end{matrix}\right).\]

Merk op dat geldt

\[x_1\mathbf{a}_1+x_2\mathbf{a}_2+\cdots+x_n\mathbf{a}_n=\mathbf{b}\quad\Longrightarrow\quad\bigg(\mathbf{a}_1\;\mathbf{a}_2\;\ldots\;\mathbf{a}_n\;\bigg|\;\mathbf{b}\bigg).\]

Dus, een aangevulde matrix kan worden opgevat als een beschrijving van een stelsel lineaire vergelijkingen (rijen), maar ook als een beschrijving van een vectorvergelijking (kolommen).

Definitie: Als \(\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\ldots,\mathbf{v}_p\) vectoren in \(\mathbb{R}^n\) zijn, dan geldt

\[\text{Span}\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\ldots,\mathbf{v}_p\}:=\{c_1\mathbf{v}_1+c_2\mathbf{v}_2+\cdots+c_p\mathbf{v}_p\;|\; c_1,c_2,\ldots,c_p\in\mathbb{R}\}\]

is de verzameling van alle lineaire combinaties van \(\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\ldots,\mathbf{v}_p\). Dit is de deelverzameling van \(\mathbb{R}^n\) opgespannen of voortgebracht door de vectoren \(\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\ldots,\mathbf{v}_p\).

In het voorbeeld hierboven hebben we gezien dat \(\mathbf{b}\in\text{Span}\{\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2\}\) en \(\mathbf{c}\notin\text{Span}\{\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2\}\).

---

Laatst gewijzigd op 22 maart 2021