Lineaire Algebra – Stelsels lineaire vergelijkingen – Lineaire onafhankelijkheid

Definitie: Een verzameling vectoren \(\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\ldots,\mathbf{v}_p\}\) in \(\mathbb{R}^n\) heet lineair onafhankelijk als de vectorvergelijking \(x_1\mathbf{v}_1+x_2\mathbf{v}_2+\cdots+c_p\mathbf{v}_p=\mathbf{0}\) alleen de triviale oplossing (\(x_1=0,\;x_2=0,\;\ldots,\;x_p=0\)) heeft. Anders heet \(\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\ldots,\mathbf{v}_p\}\) lineair afhankelijk.

Voorbeeld: Beschouw \(\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2\mathbf{v}_3\}\) met \(\mathbf{v}_1=\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}\), \(\mathbf{v}_2=\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}\) en \(\mathbf{v}_3=\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}\).

Beschouw de vectorvergelijking \(x_1\mathbf{v}_1+x_2\mathbf{v}_2+x_3\mathbf{v}_3=\mathbf{0}\):

\[\begin{pmatrix}1&1&0\\-1&0&1\\0&1&1\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&1\\0&1&1\end{pmatrix} \sim\begin{pmatrix}1&0&-1\\0&1&1\\0&0&0\end{pmatrix}\quad\Longrightarrow\quad \left\{\begin{array}{l}x_1=x_3\\x_2=-x_3\\x_3\;\text{is vrij.}\end{array}\right.\]

Er is een vrije variabele, dus: \(\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2\mathbf{v}_3\}\) is lineair afhankelijk. Er geldt bijvoorbeeld: \(\mathbf{v}_1-\mathbf{v}_2+\mathbf{v}_3=\mathbf{0}\) oftewel \(\mathbf{v}_3=-\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2\).

Stelling: De kolommen van een matrix \(A\) zijn lineair onafhankelijk dan en slechts dan als \(A\mathbf{x}=\mathbf{0}\) alleen de triviale oplossing \(\mathbf{x}=\mathbf{0}\) heeft.

Dan heeft \(A\) dus in elke kolom een pivotpositie, want er mogen geen vrije variabelen zijn.

Stelling: Een verzameling van twee vectoren \(\{\mathbf{v}_1\mathbf{v}_2\}\) is lineair afhankelijk dan en slechts dan als minstens één van de vectoren een veelvoud is van de andere. De verzameling is lineair onafhankelijk als geen van de vectoren een veelvoud is van de andere.

Stelling: Een verzameling \(\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\ldots,\mathbf{v}_p\}\) van twee of meer vectoren is lineair afhankelijk dan en slechts dan als minstens één van de vectoren een lineaire combinatie is van de andere vectoren.

Waarschuwing: Dit betekent niet dat dan elke vector in de verzameling een lineaire combinatie van de andere vectoren is.

Stelling: Een verzameling vectoren \(\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\ldots,\mathbf{v}_p\}\) in \(\mathbb{R}^n\), die de nulvector bevat, is lineair afhankelijk.

Bewijs: Stel dat \(\mathbf{v}_1=\mathbf{0}\), dan geldt bijvoorbeeld: \(17\mathbf{v}_1+0\mathbf{v}_2+\cdots+0\mathbf{v}_p=\mathbf{0}\). Dus: \(\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\ldots,\mathbf{v}_p\}\) is lineair afhnakelijk.

Stelling: Een verzameling vectoren \(\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\ldots,\mathbf{v}_p\}\) in \(\mathbb{R}^n\) met \(p>n\) is lineair afhnakelijk.

Bewijs: Stel \(A=\Bigg(\mathbf{v}_1\;\mathbf{v}_2\;\ldots\;\mathbf{v}_p\Bigg)\). Dan is \(A\) een \(n\times p\) matrix. Dus: \(A\mathbf{x}=\mathbf{0}\) is een homogeen stelsel van \(n\) vergelijkingen met \(p\) onbekenden. Omdat \(n < p\) zijn er dus maximaal \(n\) pivots en dus maximaal \(n\) basisvariabelen en dus mintsens \(p-n > 0\) vrije variabelen. Dus: \(\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\ldots,\mathbf{v}_p\}\) is lineair afhankelijk.

Voorbeelden:

1. De verzameling \(\left\{\begin{pmatrix}1\\5\end{pmatrix},\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}\right\}\) is lineair afhankelijk.


2. De verzameling \(\left\{\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}2\\3\\-1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}3\\1\\2\end{pmatrix},\begin{pmatrix}-1\\0\\5\end{pmatrix}\right\}\) is lineair afhankelijk.

---

Laatst gewijzigd op 22 maart 2021