Lineaire Algebra – Stelsels lineaire vergelijkingen – Matrixvergelijkingen

Definitie: Als \(A\) een \(m\times n\) matrix is met kolommen \(\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\ldots,\mathbf{a}_n\) en \(\mathbf{x}=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{pmatrix}\in\mathbb{R}^n\), dan is het matrix-vectorproduct \(A\mathbf{x}\) gedefinieerd als

\[A\mathbf{x}=\Bigg(\mathbf{a}_1\;\mathbf{a}_2\;\ldots\;\mathbf{a}_n\Bigg)\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{pmatrix} =x_1\mathbf{a}_1+x_2\mathbf{a}_2+\cdots+x_n\mathbf{a}_n.\]

Voorbeeld: Als \(A=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\\-1&0\end{pmatrix}\), \(\mathbf{b}=\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}\) en \(\mathbf{x}=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}\in\mathbb{R}^2\), dan geldt:

\[A\mathbf{x}=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\\-1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}=x_1\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix} +x_2\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}.\]

Dus geldt:

\[x_1\mathbf{a}_1+x_2\mathbf{a}_2=\mathbf{b}\quad\Longleftrightarrow\quad x_1\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}+x_2\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix} \quad\Longleftrightarrow\quad A\mathbf{x}=\mathbf{b}.\]

Stelling: Als \(A=\Bigg(\mathbf{a}_1\;\mathbf{a}_2\;\ldots\;\mathbf{a}_n\Bigg)\) een \(m\times n\) matrix is en \(\mathbf{b}\in\mathbb{R}^n\), dan geldt:

\[A\mathbf{x}=\mathbf{b}\quad\Longleftrightarrow\quad x_1\mathbf{a}_1+x_2\mathbf{a}_2+\cdots+x_n\mathbf{a}_n=\mathbf{b} \quad\Longleftrightarrow\quad\Bigg(\mathbf{a}_1\;\mathbf{a}_2\;\ldots\;\mathbf{a}_n\;\Bigg|\;\mathbf{b}\Bigg).\]

Dus geldt:\(A\mathbf{x}=\mathbf{b}\) is oplosbaar \(\;\Longleftrightarrow\;\) \(\mathbf{b}\in\{\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\ldots,\mathbf{a}_n\}\).

Voorbeeld: Laat \(A=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\\-1&0\end{pmatrix}\). Voor welke \(\mathbf{b}\in\mathbb{R}^n\) is \(A\mathbf{x}\) oplosbaar?

\[A\mathbf{x}=\mathbf{b}\quad\Longleftrightarrow\quad\left(\left.\begin{matrix}1&1\\0&1\\-1&0\end{matrix}\;\right|\;\begin{matrix}b_1\\b_2\\b_3\end{matrix}\right) \sim\left(\left.\begin{matrix}1&1\\0&1\\0&1\end{matrix}\;\right|\;\begin{matrix}b_1\\b_2\\b_1+b_3\end{matrix}\right) \sim\left(\left.\begin{matrix}1&1\\0&1\\0&0\end{matrix}\;\right|\;\begin{matrix}b_1\\b_2\\b_1-b_2+b_3\end{matrix}\right).\]

Dus: \(A\mathbf{x}=\mathbf{b}=\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{pmatrix}\) is alleen oplosbaar als \(b_1-b_2+b_3=0\) \(\;\Longrightarrow\;\) \(\left\{\begin{array}{l}b_1=b_2-b_3\\b_2\;\text{is vrij}\\b_3\;\text{is vrij.}\end{array}\right.\)

Hieruit volgt:

\[\mathbf{b}=\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}b_2-b_3\\b_2\\b_3\end{pmatrix}=b_1\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix} +b_3\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}.\]

De verzameling \(\{\mathbf{b}=\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{pmatrix}\,:\,b_1-b_2+b_3=0\}=\text{Span}\left\{\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}\right\}\) is een vlak in \(\mathbb{R}^3\) door de oorsprong.

Stelling: Laat \(A\) een \(m\times n\) matrix zijn. Dan zijn de volgende beweringen logisch equivalent:

1. \(A\mathbf{x}=\mathbf{b}\) is oplosbaar voor elke \(\mathbf{b}\in\mathbb{R}^m\).


2. Elke \(\mathbf{b}\in\mathbb{R}^m\) is een lineaire combinatie van de kolommen van \(A\).


3. De kolommen van \(A\) spannen \(\mathbb{R}^m\) op.


4. \(A\) heeft een pivotpoistie in elke rij.

Berekening van het matrix-vectorproduct

Voorbeeld: Laat \(A=\begin{pmatrix}1&0&2\\-1&1&0\\0&2&-1\end{pmatrix}\) en \(\mathbf{x}=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}\), dan geldt:

\[A\mathbf{x}=\begin{pmatrix}1&0&2\\-1&1&0\\0&2&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix} =x_1\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}+x_2\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}+x_3\begin{pmatrix}2\\0\\-1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}x_1+2x_3\\-x_1+x_2\\2x_2-x_3\end{pmatrix}.\]

Merk op dat dit gelijk is aan

\[A\mathbf{x}=\begin{pmatrix}1&0&2\\-1&1&0\\0&2&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1\cdot x_1+0\cdot x_2+2\cdot x_3\\-1\cdot x_1+1\cdot x_2+0\cdot x_3\\0\cdot x_1+2\cdot x_2-1\cdot x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_1+2x_3\\-x_1+x_2\\2x_2-x_3\end{pmatrix}.\]

Voorbeeld: Laat \(I=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\) en \(\mathbf{x}=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}\), dan geldt:

\[I\mathbf{x}=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\mathbf{x}.\]

De matrix \(I\) heet een eenheidsmatrix.

Stelling: Als \(A\) een \(m\times n\) matrix is, \(\mathbf{u}\) en \(\mathbf{v}\) zijn vectoren in \(\mathbb{R}^n\), en \(c\) is a getal, dan geldt:

1. \(A(\mathbf{u}+\mathbf{v})=A\mathbf{u}+A\mathbf{v}\);


2. \(A(c\mathbf{u})=c(A\mathbf{u})\).

---

Laatst gewijzigd op 22 maart 2021