Lineaire Algebra – Stelsels lineaire vergelijkingen – Rijreductie en echelonvormen

Definitie: Een matrix staat in echelonvorm als deze de volgende twee eigenschappen heeft:

1. Alle eventuele nulrijen staan onderaan;


2. Elke andere rij begint met meer nullen dan de voorgaande rij.

De matrix staat in gereduceerde echelonvorm als deze bovendien voldoet aan:

3. Elk eerste van een nul verschillende element (pivot) in een (niet-nul)rij is \(1\);


4. In elke kolom met zo'n \(1\) (pivotkolom) staan verder alleen nullen (zowel erboven als eronder).

Een matrix in echelonvorm heet ook wel een echelonmatrix en een matrix in gereduceerde echelonvorm ook wel een gereduceerde echelonmatrix.

Stelling: Elke matrix is rijequivalent met precies één gereduceerde echelonmatrix.

Bewijs: Zie Appendix A in Lay (wordt overgeslagen).

We gebruiken elementaire rijoperaties om een matrix om te zetten naar een rijequivalente (gereduceerde) echelonmatrix. Een veegproces dat leidt tot een echelonmatrix heet Gauss eliminatie en een proces dat leidt tot een gereduceerde echelonmatrix heet wel Gauss-Jordan eliminatie. Een eerste van nul verschillend element in een rij, dat tijdens zo'n veegproces wordt gebruikt om daaronder nullen te crëren, heet een pivot (dat is de spli of as waar die berekening om draait).

Definitie: Een pivotpositie in een matrix is een locatie die correspondeert met een uiteindelijke pivot \(1\) in de gereduceerde echelonvorm van de matrix. Een kolom die zo'n pivotpositie bevat heet een pivotkolom.

Voor een stelsel lineaire vergelijkingen zijn er drie mogelijkheden die nu door middel van een gereduceerde echelonvorm geïllustreerd kunnen worden:

1) geen oplossingen (een strijdig stelsel): \(\left(\left.\begin{array}{ccc}\fbox{1}&0&0\\[2.5mm]0&\fbox{1}&0\\[2.5mm]0&0&0\end{array}\;\right|\;\begin{array}{c}1\\[2.5mm]2\\[2.5mm]3\end{array}\right):\quad 0\cdot x_1+0\cdot x_2+0\cdot x_3=3\) heet een valse vergelijking.

2) oneindig veel oplossingen: \(\left(\left.\begin{array}{ccc}\fbox{1}&0&0\\[2.5mm]0&\fbox{1}&0\\[2.5mm]0&0&0\end{array}\;\right|\;\begin{array}{c}1\\[2.5mm]2\\[2.5mm]0\end{array}\right):\quad \left\{\begin{array}{l}x_1=1\\[2.5mm]x_2=2\\[2.5mm]x_3\;\text{is vrij.}\end{array}\right.\quad\) \(x_1\) en \(x_2\) heet basisvariabelen en \(x_3\) heet een vrije variabele..

3) precies één oplossing (een unieke oplossing): \(\left(\left.\begin{array}{ccc}\fbox{1}&0&0\\[2.5mm]0&\fbox{1}&0\\[2.5mm]0&0&\fbox{1}\end{array}\;\right|\;\begin{array}{c}1\\[2.5mm]2\\[2.5mm]3\end{array}\right):\quad \left\{\begin{array}{l}x_1=1\\[2.5mm]x_2=2\\[2.5mm]x_3=3.\end{array}\right.\quad\) Nu zijn \(x_1\), \(x_2\) en \(x_3\) allemaal basisvariabelen.

Voorbeeld 1: Bepaal de oplossing van het stselsel lineaire vergelijkingen \(\left\{\begin{array}{rrrcl}&-2x_2&+4x_3&=&0\\[2.5mm] x_1&+x_2&+3x_3&=&1\\[2.5mm]-3x_1&+2x_2&-14x_3&=&2.\end{array}\right.\)

Oplossing:

\begin{align*} &\left(\left.\begin{array}{ccc}0&-2&4\\[2.5mm]1&1&3\\[2.5mm]-3&2&-14\end{array}\;\right|\;\begin{array}{r}0\\[2.5mm]1\\[2.5mm]2\end{array}\right) \sim\left(\left.\begin{array}{ccc}\fbox{1}&1&3\\[2.5mm]0&-2&4\\[2.5mm]-3&2&-14\end{array}\;\right|\;\begin{array}{r}1\\[2.5mm]0\\[2.5mm]2\end{array}\right) \sim\left(\left.\begin{array}{ccc}\fbox{1}&1&3\\[2.5mm]0&-2&4\\[2.5mm]0&5&-5\end{array}\;\right|\;\begin{array}{r}1\\[2.5mm]0\\[2.5mm]5\end{array}\right)\\[2.5mm] &{}\sim\left(\left.\begin{array}{ccc}\fbox{1}&1&3\\[2.5mm]0&\fbox{1}&-2\\[2.5mm]0&1&-1\end{array}\;\right|\;\begin{array}{r}1\\[2.5mm]0\\[2.5mm]1\end{array}\right) \sim\left(\left.\begin{array}{ccc}\fbox{1}&0&5\\[2.5mm]0&\fbox{1}&-2\\[2.5mm]0&0&\fbox{1}\end{array}\;\right|\;\begin{array}{r}1\\[2.5mm]0\\[2.5mm]1\end{array}\right) \sim\left(\left.\begin{array}{ccc}\fbox{1}&0&0\\[2.5mm]0&\fbox{1}&0\\[2.5mm]0&0&\fbox{1}\end{array}\;\right|\;\begin{array}{r}-4\\[2.5mm]2\\[2.5mm]1\end{array}\right)\quad\Longrightarrow\quad \left\{\begin{array}{l}x_1=-4\\[2.5mm]x_2=2\\[2.5mm]x_3=1.\end{array}\right. \end{align*}

Voorbeeld 2: Beschouw het stselsel lineaire vergelijkingen \(\left\{\begin{array}{rrrcr}x_1&-x_2&-x_3&=&2\\[2.5mm] -x_1&+2x_2&-3x_3&=&-4\\[2.5mm]2x_1&&+\alpha x_3&=&\beta\end{array}\right.\quad(\alpha,\beta\in\mathbb{R}).\)

Voor welke waarde(n) van \(\alpha\) en \(\beta\) heeft dit stelsel geen oplossingen, oneindig veel oplossingen of precies één oplossing?

Oplossing:

\[\left(\left.\begin{array}{ccc}\fbox{1}&-1&-1\\[2.5mm]-1&2&-3\\[2.5mm]2&0&\alpha\end{array}\;\right|\;\begin{array}{c}2\\[2.5mm]-4\\[2.5mm]\beta\end{array}\right) \sim\left(\left.\begin{array}{ccc}\fbox{1}&-1&-1\\[2.5mm]0&\fbox{1}&-2\\[2.5mm]0&2&\alpha+2\end{array}\;\right|\;\begin{array}{c}2\\[2.5mm]-2\\[2.5mm]\beta-4\end{array}\right) \sim\left(\left.\begin{array}{ccc}\fbox{1}&0&-3\\[2.5mm]0&\fbox{1}&-2\\[2.5mm]0&0&\alpha+6\end{array}\;\right|\;\begin{array}{c}0\\[2.5mm]-2\\[2.5mm]\beta\end{array}\right).\]

We zien dat er geen oplossingen zijn als \(\alpha+6=0\) en \(\beta\neq0\), dus als \(\alpha=-6\) en \(\beta\neq0\).

Er zijn oneindig veel oplossingen als \(\alpha+6=0\) en \(\beta=0\), dus als \(\alpha=-6\) en \(\beta=0\):

\[\left(\left.\begin{array}{ccc}\fbox{1}&0&-3\\[2.5mm]0&\fbox{1}&-2\\[2.5mm]0&0&0\end{array}\;\right|\;\begin{array}{c}0\\[2.5mm]-2\\[2.5mm]0\end{array}\right) \quad\Longrightarrow\quad\left\{\begin{array}{l}x_1-3x_3=0\\[2.5mm]x_2-2x_3=-2\\[2.5mm]x_3\;\text{is vrij}\end{array}\right. \quad\Longrightarrow\quad\left\{\begin{array}{l}x_1=3x_3\\[2.5mm]x_2=-2+2x_3\\[2.5mm]x_3\;\text{is vrij.}\end{array}\right.\]

Er is precies één oplossing als \(\alpha+6\neq0\) (en \(\beta\) willekeurig) oftewel als \(\alpha=-6\):

\[\left(\left.\begin{array}{ccc}\fbox{1}&0&-3\\[2.5mm]0&\fbox{1}&-2\\[2.5mm]0&0&\alpha+6\end{array}\;\right|\;\begin{array}{c}0\\[2.5mm]-2\\[2.5mm]\beta\end{array}\right) \sim\left(\left.\begin{array}{ccc}\fbox{1}&0&-3\\[2.5mm]0&\fbox{1}&-2\\[2.5mm]0&0&\fbox{1}\end{array}\;\right|\;\begin{array}{c}0\\[2.5mm]-2\\[2.5mm]\frac{\beta}{\alpha+6}\end{array}\right) \sim\left(\left.\begin{array}{ccc}\fbox{1}&0&0\\[2.5mm]0&\fbox{1}&0\\[2.5mm]0&0&\fbox{1}\end{array}\;\right|\;\begin{array}{c}\frac{3\beta}{\alpha+6}\\[2.5mm]-2+\frac{2\beta}{\alpha+6}\\[2.5mm]\frac{\beta}{\alpha+6}\end{array}\right) \quad\Longrightarrow\quad\left\{\begin{array}{l}x_1=\frac{3\beta}{\alpha+6}\\[2.5mm]x_2=-2+\frac{2\beta}{\alpha+6}\\[2.5mm]x_3=\frac{\beta}{\alpha+6}.\end{array}\right.\]

---

Laatst gewijzigd op 22 maart 2021