Lineaire Algebra – Stelsels lineaire vergelijkingen

Een lineaire vergelijking in de variabelen \(x_1,x_2,\ldots,x_n\) is een vergelijking die geschreven kan worden in de vorm

\[a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_nx_n=b,\]

met \(b\) en de coëfficiënten \(a_1,a_2,\ldots,a_n\) reële of complexe getallen en \(n\) een positief geheel getal.

Een stelsel lineaire vergelijkingen is een verzameling van één of meer lineaire vergelijkingen in dezelfde variabelen, zeg \(x_1,x_2,\ldots,x_n\). Dit wordt ook wel kortweg een lineair stelsel genoemd, maar eigenlijk is dat niet correct (de vergelijkingen zijn lineair, niet het stelsel).

Een oplossing van het stelsel is een lijst \(\{s_1,s_2,\ldots,s_n\}\) van getallen, die van elke vergelijking een ware bewering maakt als de waarden \(s_1,s_2,\ldots,s_n\) worden gesubstitueerd voor \(x_1,x_2,\ldots,x_n\) respectievelijk.

De verzameling van alle mogelijke oplossingen heet de oplossingsverzameling van het lineaire stelsel. Twee lineaire stelsels heten equivalent als ze dezelfde oplossingsverzameling hebben.

Voor een stelsels lineaire vergelijkingen zijn er drie mogelijkheden: het stelsel heeft

1. geen oplossingen,


2. precies één oplossing,


3. oneindig veel oplossingen.

Een stelsel lineaire vergelijkingen heet oplosbaar als het één oplossing of oneindig veel oplossingen heeft en het heet niet oplosbaar of strijdig als het geen oplossingen heeft.

De essentiële informatie van een stelsel lineaire vergelijkingen kan worden weergegeven in een aangevulde matrix:

\[\left\{\begin{array}{cccccccc}a_{11}x_1&+&a_{12}x_2&+&\cdots&+&x_{1n}x_n&=&b_1\\[2.5mm] a_{21}x_1&+&a_{22}x_2&+&\cdots&+&x_{2n}x_n&=&b_2\\[2.5mm] \vdots&&\vdots&&&&\vdots&&\vdots\\[2.5mm] a_{m1}x_1&+&a_{m2}x_2&+&\cdots&+&a_{mn}x_n&=&b_m\end{array}\right.\quad\Longrightarrow\quad \left(\left.\begin{array}{cccc}a_{11}&a_{12}&\ldots&a_{1n}\\[2.5mm] a_{21}&a_{22}&\ldots&a_{2n}\\[2.5mm] \vdots&\vdots&&\vdots\\[2.5mm] a_{m1}&a_{m2}&\ldots&a_{mn}\end{array}\;\right|\; \begin{array}{c}b_1\\[2.5mm]b_2\\[2.5mm]\vdots\\[2.5mm]b_m\end{array}\right).\]

Hierin heet de matrix \(\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots&a_{1n}\\[2.5mm] a_{21}&a_{22}&\ldots&a_{2n}\\[2.5mm] \vdots&\vdots&&\vdots\\[2.5mm] a_{m1}&a_{m2}&\ldots&a_{mn}\end{pmatrix}\) de coëfficiëntenmatrix van het stelsel lineaire vergelijkingen.

De afmetingen van zo'n matrix geven aan hoeveel rijen en hoeveel kolommen de matrix heeft; dit is een \(m\times n\) matrix met \(m\) rijen en \(n\) kolommen.

De Gauss eliminatie (het veegproces).

Er zijn drie elementaire rijoperaties:

1. Vervanging\({}^{(*)}\): vervang een rij door de som van die rij en een veelvoud van een andere rij,


2. Verwisseleling: verwissel twee rijen van plaats,


3. Schaling: vermenigvuldig alle element in een rij met een constante ongelijk aan nul.

\({}^{(*)}\) gewoonlijk zegt men: "tel een veelvoud van een rij op bij een andere rij".

Twee matrices heten rijequivalent als deze door een reeks van elementaire rijoperaties in elkaar overgaan. Merk op dat alle elementaire rijoperaties omkeerbaar zijn.

Als de aangevulde matrices van twee stelsels lineaire vergelijkingen rijequivalent zijn, dan hebben de twee stelsels dezelfde oplossingsverzameling.

---

Laatst gewijzigd op 22 maart 2021