Lineaire Algebra – Stelsels lineaire vergelijkingen – Oplossingsverzamelingen

Een stelsel lineaire vergelijkingen kan nu geschreven worden als een matrixvergelijking \(A\mathbf{x}=\mathbf{b}\). Zo'n stelsel heet homogeen als \(\mathbf{b}=\mathbf{0}\). Anders heet het stelsel inhomogeen. Een homogeen stelsel is altijd oplosbaar, want: \(\mathbf{x}=\mathbf{0}\) is een oplossing (de triviale oplossing).

Voorbeeld: Als \(A=\begin{pmatrix}1&-1&0\\-1&2&1\\0&1&1\end{pmatrix}\), dan geldt:

\[A\mathbf{x}=\mathbf{0}:\quad\left(\left.\begin{matrix}1&-1&0\\-1&2&1\\0&1&1\end{matrix}\;\right|\;\begin{matrix}0\\0\\0\end{matrix}\right) \sim\left(\left.\begin{matrix}1&-1&0\\0&1&1\\0&1&1\end{matrix}\;\right|\;\begin{matrix}0\\0\\0\end{matrix}\right) \sim\left(\left.\begin{matrix}1&0&1\\0&1&1\\0&0&0\end{matrix}\;\right|\;\begin{matrix}0\\0\\0\end{matrix}\right).\]

Merk op dat de nullen rechts van de verticale streep nooit veranderen en dus eigenlijk weggelaten kunnen worden. Als oplossing vinden we:

\[\left\{\begin{array}{l}x_1=-x_3\\x_2=-x_3\\x_3\;\text{is vrij}\end{array}\right.\quad\Longrightarrow\quad\mathbf{x}=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-x_3\\-x_3\\x_3\end{pmatrix}=x_3\begin{pmatrix}-1\\-1\\1\end{pmatrix}.\]

Dit is een lijn in \(\mathbb{R}^3\) door de oorsprong.

Stelling: Een homogeen stelsel lineaire vergelijkingen heeft alleen een niet-triviale oplossing als er minstens één vrije variabele is.

Voorbeeld: De homogene vergelijking \(x_1-x_2+x_3=0\) heeft als oplossing

\[\left\{\begin{array}{l}x_1=x_2-x_3\\x_2\;\text{is vrij}\\x_3\;\text{is vrij}\end{array}\right.\quad\Longrightarrow\quad\mathbf{x} =\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_2-x_3\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=x_2\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix} +x_3\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}.\]

De oplossingsverzameling \(\{\mathbf{x}=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}\,:\,x_1-x_2+x_3=0\}=\text{Span}\left\{\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}\right\}\) is een vlak in \(\mathbb{R}^3\) door de oorsprong.

Voorbeeld: Als \(A=\begin{pmatrix}1&-1&0\\-1&2&1\\0&1&1\end{pmatrix}\) en \(\mathbf{b}=\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}\), dan geldt:

\[A\mathbf{x}=\mathbf{b}:\quad\left(\left.\begin{matrix}1&-1&0\\-1&2&1\\0&1&1\end{matrix}\;\right|\;\begin{matrix}2\\-1\\1\end{matrix}\right) \sim\left(\left.\begin{matrix}1&-1&0\\0&1&1\\0&1&1\end{matrix}\;\right|\;\begin{matrix}2\\1\\1\end{matrix}\right) \sim\left(\left.\begin{matrix}1&0&1\\0&1&1\\0&0&0\end{matrix}\;\right|\;\begin{matrix}3\\1\\0\end{matrix}\right).\]

Als oplossing vinden we:

\[\left\{\begin{array}{l}x_1=3-x_3\\x_2=1-x_3\\x_3\;\text{is vrij}\end{array}\right.\quad\Longrightarrow\quad\mathbf{x}=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}3-x_3\\1-x_3\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\1\\0\end{pmatrix}+x_3\begin{pmatrix}-1\\-1\\1\end{pmatrix}.\]

Dit is een lijn in \(\mathbb{R}^3\) niet door de oorsprong. Deze lijn is evenwijdig aan de lijn die we in het eerste voorbeeld vonden.

Voorbeeld: De inhomogene vergelijking \(x_1-x_2+x_3=1\) heeft als oplossing

\[\left\{\begin{array}{l}x_1=1+x_2-x_3\\x_2\;\text{is vrij}\\x_3\;\text{is vrij}\end{array}\right.\quad\Longrightarrow\quad\mathbf{x} =\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1+x_2-x_3\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} +x_2\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}+x_3\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}.\]

Dit is een vlak in \(\mathbb{R}^3\) niet door de oorsprong. Dit vlak is evenwijdig aan het vlak dat we in het tweede voorbeeld vonden.

---

Laatst gewijzigd op 22 maart 2021