Lineaire Algebra – Stelsels lineaire vergelijkingen – Lineaire afbeeldingen

Definitie: Een afbeelding \(T\) van \(\mathbb{R}^n\) naar \(\mathbb{R}^m\) is een regel die aan elke vector \(\mathbf{x}\) in \(\mathbb{R}^n\) een vector \(T(\mathbf{x})\) in \(\mathbb{R}^m\) toevoegt. De verzameling \(\mathbb{R}^n\) heet het domein van \(T\) en \(\mathbb{R}^m\) heet het codomein van \(T\). Notatie: \(T:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m\).
Voor \(\mathbf{x}\in\mathbb{R}^n\) heet de vector \(T(\mathbf{x})\) het beeld van \(\mathbf{x}\). De verzameling van alle beelden \(T(\mathbf{x})\) heet het bereik van \(T\).

Definitie: Een afbeelding \(T\) heet lineair als

1. \(T(\mathbf{u}+\mathbf{v})=T(\mathbf{u})+T(\mathbf{v})\) voor alle \(\mathbf{u}\) en \(\mathbf{v}\) in het domein van \(T\);


2. \(T(c\mathbf{u})=cT(\mathbf{u})\) voor alle \(\mathbf{u}\) in het domein van \(T\) en alle getallen \(c\in\mathbb{R}\).

Gevolg: Als \(T\) een lineaire afbeelding is, dan is \(T(\mathbf{0})=\mathbf{0}\) en \(T(c\mathbf{u}+d\mathbf{v}) =cT(\mathbf{u})+dT(\mathbf{v})\) voor alle \(\mathbf{u}\) en \(\mathbf{v}\) in het domein van \(T\) en alle getallen \(c\) en \(d\) in \(\mathbb{R}\).

Generalisatie: \(T(c_1\mathbf{v}_1+c_2\mathbf{v}_2+\cdots+c_p\mathbf{v}_p)=c_1T(\mathbf{v}_1)+c_2T(\mathbf{v}_2)+\cdots+c_pT(\mathbf{v}_p)\).

Matrixafbeeldingen: Als \(A\) een \(m\times n\) matrix is, dan is de afbeelding \(T:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m,\; T(\mathbf{x})=A\mathbf{x}\) een lineaire afbeelding.

Bewijs: Voor alle \(\mathbf{u}\) en \(\mathbf{v}\) en voor alle getallen \(c\in\mathbb{R}\) geldt:

\[T(\mathbf{u}+\mathbf{v})=A(\mathbf{u}+\mathbf{v})=A\mathbf{u}+A\mathbf{v}=T(\mathbf{u})+T(\mathbf{v})\quad\text{en}\quad T(c\mathbf{u})=A(c\mathbf{u})=cA\mathbf{u}=cT(\mathbf{u}).\]

---

Laatst gewijzigd op 22 maart 2021