Analyse – Meervoudige integralen – Coördinatentransformatie in meervoudige integralen

Inverteerbare afbeeldingen

\[T(u,v)=(x,y):\quad\left\{\begin{array}{l}x=g(u,v)\\[2.5mm]y=h(u,v)\end{array}\right.\quad\quad\longleftrightarrow\quad\quad T^{-1}(x,y)=(u,v):\quad\left\{\begin{array}{l}u=G(x,y)\\[2.5mm]v=H(x,y).\end{array}\right.\]

Stewart §15.9, Voorbeeld 1
Een afbeelding wordt gedefinieerd door

\[\left\{\begin{array}{l}x=u^2-v^2\\[2.5mm]y=2uv.\end{array}\right.\]

Bepaal het beeld van het vierkant \(S=\{(u,v)\,|\,0\leq u\leq1,\;0\leq v\leq1\}\).

Oplossing: Begin met het beschouwen van de zijden \(S_1\), \(S_2\), \(S_3\) en \(S_4\) van het vierkant \(S\).

\(S_1:\;0\leq u\leq 1,\;v=0\). Hieruit volgt dat \(x=u^2\) en \(y=0\). Dit correspondeert dus met het lijnstuk \(0\leq x\leq1\) en \(y=0\).

\(S_2:\;u=1,\;0\leq v\leq1\). Hieruit volgt dat \(x=1-v^2\) en \(y=2v\). Dit correspondeert dus met \(x=1-\frac{1}{4}y^2\) en \(0\leq x\leq1\).

\(S_3:\;0\leq u\leq1,\;v=1\). Hieruit volgt dat \(x=u^2-1\) en \(y=2u\). Dit correspondeert dus met \(x=\frac{1}{4}y^2-1\) en \(-1\leq x\leq0\).

\(S_4:\;u-0,\;0\leq v\leq1\). Hieruit volgt dat \(x=-v^2\) en \(y=0\). Dit correspondeert dus met het lijnstuk \(-1\leq x\leq0\) en \(y=0\).

Beschouw de inverteerbare afbeelding

\[T(u,v)=(x,y):\quad\left\{\begin{array}{l}x=g(u,v)\\[2.5mm]y=h(u,v)\end{array}\right.\quad\quad\longleftrightarrow\quad\quad \mathbf{r}(u,v)=g(u,v)\,\mathbf{i}+h(u,v)\,\mathbf{j}:\quad \left\{\begin{array}{l}\displaystyle\mathbf{r}_u=\frac{\partial x}{\partial u}\,\mathbf{i}+\frac{\partial y}{\partial u}\,\mathbf{j}\\[2.5mm] \displaystyle\mathbf{r}_v=\frac{\partial x}{\partial v}\,\mathbf{i}+\frac{\partial y}{\partial v}\,\mathbf{j}.\end{array}\right.\]

We kunnen het beeldgebied \(R=T(S)\) benaderen door een parallellogram opgespannen door de raakvectoren

\[\mathbf{r}(u_0+\Delta u,v_0)-\mathbf{r}(u_0,v_0)\quad\textrm{en}\quad\mathbf{r}(u_0,v_0+\Delta v)-\mathbf{r}(u_0,v_0).\]

Echter, er geldt

\[\mathbf{r}_u=\lim\limits_{\Delta u\to 0}\frac{\mathbf{r}(u_0+\Delta u,v_0)-\mathbf{r}(u_0,v_0)}{\Delta u},\]

waaruit volgt dat

\[\mathbf{r}(u_0+\Delta u,v_0)-\mathbf{r}(u_0,v_0)\approx\Delta u\,\mathbf{r}_u.\]

Evenzo geldt

\[\mathbf{r}(u_0,v_0+\Delta v)-\mathbf{r}(u_0,v_0)\approx\Delta v\,\mathbf{r}_v.\]

Dit betekent dat we \(R\) kunnen benaderen door een parallellogram opgespannen door de vectoren \(\Delta u\,\mathbf{r}_u\) en \(\Delta v\,\mathbf{r}_v\). De oppervlakte van \(R\) kunnen we dus benaderen door de oppervlakte van dit parallellogram:

\[\left|(\Delta u\,\mathbf{r}_u)\times(\Delta v\,\mathbf{r}_v)\right|=\left|\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v\right|\,\Delta u\,\Delta v.\]

Nu volgt met \(\mathbf{r}_u=\langle\displaystyle\frac{\partial x}{\partial u},\frac{\partial y}{\partial u},0\rangle\) en \(\mathbf{r}_v=\langle\displaystyle\frac{\partial x}{\partial v},\frac{\partial y}{\partial v},0\rangle\) dat

\[\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v=\langle0,0,\begin{vmatrix}\displaystyle\frac{\partial x}{\partial u} & \displaystyle\frac{\partial y}{\partial u}\\[2.5mm] \displaystyle\frac{\partial x}{\partial v} & \displaystyle\frac{\partial y}{\partial v}\end{vmatrix}\rangle =\langle0,0,\begin{vmatrix}\displaystyle\frac{\partial x}{\partial u} & \displaystyle\frac{\partial x}{\partial v}\\[2.5mm] \displaystyle\frac{\partial y}{\partial u} & \displaystyle\frac{\partial y}{\partial v}\end{vmatrix}\rangle.\]

Dus, \(|\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v|\) is gelijk aan de absolute waarde van de determinant.

Definitie: De Jacobiaan van de afbeelding \(T\) gegeven door

\[T(u,v)=(x,y):\quad\left\{\begin{array}{l}x=g(u,v)\\[2.5mm]y=h(u,v)\end{array}\right.\]

is

\[\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}=\begin{vmatrix}\displaystyle\frac{\partial x}{\partial u} & \displaystyle\frac{\partial x}{\partial v}\\[2.5mm] \displaystyle\frac{\partial y}{\partial u} & \displaystyle\frac{\partial y}{\partial v}\end{vmatrix}=\frac{\partial x}{\partial u}\,\frac{\partial y}{\partial v}-\frac{\partial x}{\partial v}\frac{\partial y}{\partial u}.\]

Opmerking: Een benadering van de oppervlakte \(\Delta A\) van \(R\) is nu: \(\displaystyle\Delta A\approx\left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right|\,\Delta u\,\Delta v\).

Stelling: Neem aan dat \(T\) een inverteerbare afbeelding is waarvan de Jacobiaan niet nul is en dat \(T\) een gebied \(S\) in het \(uv\)-vlak afbeeldt op een gebied \(R\) in het \(xy\)-vlak. Neem aan dat \(f\) continu is op \(R\) en dat \(R\) en \(S\) gebieden zijn van type I of type II. Dan geldt:

\[\iint\limits_Rf(x,y)\,dA=\iint\limits_Sf(x(u,v),y(u,v))\left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right|\,du\,dv.\]

Stewart §15.9, Voorbeeld 2
Gebruik de coördinatentransformatie

\[\left\{\begin{array}{l}x=u^2-v^2\\[2.5mm]y=2uv\end{array}\right.\]

om de volgende integraal te berekenen: \(\displaystyle\iint\limits_Ry\,dA\), waarbij \(R\) het gebied is begrensd door de \(x\)-as en de parabolen \(y^2=4-4x\) en \(y^2=4+4x\) met \(y\geq0\).

Oplossing: We hebben gezien dat \(R=T(S)\), waarbij \(S=[0,1]\times[0,1]\) in het \(uv\)-vlak. Nu geldt

\[\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}=\begin{vmatrix}\displaystyle\frac{\partial x}{\partial u} & \displaystyle\frac{\partial x}{\partial v}\\[2.5mm] \displaystyle\frac{\partial y}{\partial u} & \displaystyle\frac{\partial y}{\partial v}\end{vmatrix} =\begin{vmatrix}2u & -2v\\[2.5mm]2v & 2u\end{vmatrix}=4(u^2+v^2).\]

Dus geldt

\begin{align*} \iint\limits_Ry\,dA&=\iint\limits_S2uv\left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right|\,du\,dv =\int_0^1\int_0^12uv\cdot4(u^2+v^2)\,du\,dv\\[2.5mm] &=8\int_0^1\int_0^1(u^3v+uv^3)\,du\,dv=8\int_0^1\bigg[\frac{1}{4}u^4v+\frac{1}{2}u^2v^3\bigg]_{u=0}^1\,dv\\[2.5mm] &=\int_0^1\left(2v+4v^3\right)\,dv=\bigg[v^2+v^4\bigg]_{v=0}^1=2. \end{align*}

Stewart §15.9, Voorbeeld 3
Bereken de integraal \(\displaystyle\iint\limits_Re^{(x+y)/(x-y)}\,dA\), waarbij \(R\) het trapeziumvormige gebied is met hoekpunten \((1,0)\), \((2,0)\), \((0,-2)\) en \((0,-1)\).

Oplossing: Beschouw de coördinatentransformatie \(u=x+y\) en \(v=x-y\), waaruit volgt dat \(x=\frac{1}{2}(u+v)\) en \(y=\frac{1}{2}(u-v)\). De Jacobiaan is dan

\[\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}=\begin{vmatrix}\displaystyle\frac{\partial x}{\partial u} & \displaystyle\frac{\partial x}{\partial v}\\[2.5mm] \displaystyle\frac{\partial y}{\partial u} & \displaystyle\frac{\partial y}{\partial v}\end{vmatrix} =\begin{vmatrix}\frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\[2.5mm]\frac{1}{2} & -\frac{1}{2}\end{vmatrix}=-\frac{1}{2}.\]

Merk op dat

\[\frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}=\begin{vmatrix}\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x} & \displaystyle\frac{\partial u}{\partial y}\\[2.5mm] \displaystyle\frac{\partial v}{\partial x} & \displaystyle\frac{\partial v}{\partial y}\end{vmatrix} =\begin{vmatrix}1 & 1\\[2.5mm]1 & -1\end{vmatrix}=-2\]

waaruit volgt dat

\[\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}=\frac{1}{\displaystyle\frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}}=-\frac{1}{2}.\]

Om het gebied \(S\) in het \(uv\)-vlak te vinden dat correspondeert met \(R\), merken we op dat de zijden van \(R\) op de lijnen \(y=0\), \(x-y=2\), \(x=0\) en \(x-y=1\) liggen. Deze lijnen corresponderen met \(u=v\), \(v=2\), \(u=-v\) en \(v=1\) respectievelijk. Hieruit volgt dat \(S\) het trapeziumvormige gebied is met hoekpunten \((1,1)\), \((2,2)\), \((-2,2)\) en \((-1,1)\):

\[S=\{(u,v)\,|\,1\leq v\leq2,\;-v\leq u\leq v\}.\]

Dus geldt

\begin{align*} \iint\limits_Re^{(x+y)/(x-y)}\,dA&=\iint\limits_Se^{u/v}\left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right|\,du\,dv =\int_1^2\int_{-v}^ve^{u/v}\cdot\frac{1}{2}\,du\,dv=\frac{1}{2}\int_1^2\bigg[ve^{u/v}\bigg]_{u=-v}^v\,dv\\[2.5mm] &=\frac{1}{2}\int_1^2\left(e-e^{-1}\right)v\,dv =\frac{1}{2}\left(e-e^{-1}\right)\bigg[\frac{1}{2}v^2\bigg]_{v=1}^2=\frac{3}{4}\left(e-e^{-1}\right). \end{align*}

Poolcoördinaten

In het geval van poolcoördinaten geldt: \(\displaystyle T(r,\theta)=(x,y):\quad\left\{\begin{array}{l}x=r\cos(\theta)\\[2.5mm] y=r\sin(\theta).\end{array}\right.\)

De Jacobiaan van \(T\) is

\[\frac{\partial(x,y)}{\partial(r,\theta)}=\begin{vmatrix}\displaystyle\frac{\partial x}{\partial r} & \displaystyle\frac{\partial x}{\partial\theta}\\[2.5mm] \displaystyle\frac{\partial y}{\partial r} & \displaystyle\frac{\partial y}{\partial\theta}\end{vmatrix} =\left|\begin{array}{cc}\cos(\theta) & -\sin(\theta)\\[2.5mm]r\sin(\theta) & r\cos(\theta)\end{array}\right|=r>0.\]

Merk op dat de rechthoek

\[S=\{(r,\theta)\,|\,a\leq r\leq b,\;\alpha\leq\theta\leq\beta\}\]

in het \(r\theta\)-vlak correspondeert met de polaire rechthoek

\[R=\{(r\cos(\theta),r\sin(\theta))\,|\,a\leq r\leq b,\;\alpha\leq\theta\leq\beta\}\]

in het \(xy\)-vlak. Dus geldt

\begin{align*} \iint\limits_Rf(x,y)\,dA&=\iint\limits_Sf(r\cos(\theta),r\sin(\theta))\left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(r,\theta)}\right|\,dr\,d\theta\\[2.5mm] &=\int_{\alpha}^{\beta}\int_a^bf(r\cos(\theta),r\sin(\theta))\,r\,dr\,d\theta. \end{align*}

Drievoudige integralen

De Jacobiaan van de afbeelding \(T\) gegeven door

\[T(u,v,w)=(x,y,z):\quad\left\{\begin{array}{l}x=g(u,v,w)\\[2.5mm]y=h(u,v,w)\\[2.5mm]z=k(u,v,w)\end{array}\right.\]

is

\[\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)}=\begin{vmatrix}\displaystyle\frac{\partial x}{\partial u} & \displaystyle\frac{\partial x}{\partial v} & \displaystyle\frac{\partial x}{\partial w}\\[2.5mm] \displaystyle\frac{\partial y}{\partial u} & \displaystyle\frac{\partial y}{\partial v} & \displaystyle\frac{\partial y}{\partial w}\\[2.5mm] \displaystyle\frac{\partial z}{\partial u} & \displaystyle\frac{\partial z}{\partial v} & \displaystyle\frac{\partial z}{\partial w}\end{vmatrix}.\]

Zo'n determinant hebben we gedefinieerd als een scalartripelproduct (zie ook de cursus Lineaire Algebra voor meer details):

\[\begin{vmatrix}a_1&b_1&c_1\\[2.5mm]a_2&b_2&c_2\\[2.5mm]a_3&b_3&c_3\end{vmatrix} =\begin{vmatrix}a_1&a_2&a_3\\[2.5mm]b_1&b_2&b_3\\[2.5mm]c_1&c_2&c_3\end{vmatrix} =\det(\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c})=\mathbf{a}\cdot\left(\mathbf{b}\times\mathbf{c}\right).\]

Dan geldt

\[\iiint\limits_Rf(x,y,z)\,dV=\iiint\limits_Sf(x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w))\left|\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)}\right|\,du\,dv\,dw.\]

Cilindercoördinaten

In het geval van cilindercoördinaten geldt: \(\displaystyle T(r,\theta,z)=(x,y,z):\quad \left\{\begin{array}{l}x=r\cos(\theta)\\[2.5mm]y=r\sin(\theta)\\[2.5mm]z=z.\end{array}\right.\)

De Jacobiaan van \(T\) is (zie de cursus Lineaire Algebra voor details over de berekening)

\[\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(r,\theta,z)}=\begin{vmatrix}\displaystyle\frac{\partial x}{\partial r} & \displaystyle\frac{\partial x}{\partial\theta} & \displaystyle\frac{\partial x}{\partial z}\\[2.5mm] \displaystyle\frac{\partial y}{\partial r} & \displaystyle\frac{\partial y}{\partial\theta} & \displaystyle\frac{\partial y}{\partial z}\\[2.5mm] \displaystyle\frac{\partial z}{\partial r} & \displaystyle\frac{\partial z}{\partial\theta} & \displaystyle\frac{\partial z}{\partial z}\end{vmatrix} =\begin{vmatrix}\cos(\theta) & -\sin(\theta) & 0\\[2.5mm]r\sin(\theta) & r\cos(\theta) & 0\\[2.5mm]0 & 0 & 1\end{vmatrix} =\begin{vmatrix}\cos(\theta) & -\sin(\theta)\\[2.5mm]r\sin(\theta) & r\cos(\theta)\end{vmatrix}=r>0.\]

Bolcoördinaten

In het geval van bolcoördinaten geldt: \(\displaystyle T(\rho,\phi,\theta)=(x,y,z):\quad \left\{\begin{array}{l}x=\rho\sin(\phi)\cos(\theta)\\[2.5mm]y=\rho\sin(\phi)\sin(\theta)\\[2.5mm]z=\rho\cos(\phi).\end{array}\right.\)

De Jacobiaan van \(T\) is (zie de cursus Lineaire Algebra voor details over de berekening)

\begin{align*} \frac{\partial(x,y,z)}{\partial(\rho,\phi,\theta)}&=\begin{vmatrix}\displaystyle\frac{\partial x}{\partial\rho} & \displaystyle\frac{\partial x}{\partial\phi} & \displaystyle\frac{\partial x}{\partial\theta}\\[2.5mm] \displaystyle\frac{\partial y}{\partial\rho} & \displaystyle\frac{\partial y}{\partial\phi} & \displaystyle\frac{\partial y}{\partial\theta}\\[2.5mm] \displaystyle\frac{\partial z}{\partial\rho} & \displaystyle\frac{\partial z}{\partial\phi} & \displaystyle\frac{\partial z}{\partial\theta}\end{vmatrix} =\begin{vmatrix}\sin(\phi)\cos(\theta) & \rho\cos(\phi)\cos(\theta) & -\rho\sin(\phi)\sin(\theta)\\[2.5mm] \sin(\phi)\sin(\theta) & \rho\cos(\phi)\sin(\theta) & \rho\sin(\phi)\cos(\theta)\\[2.5mm]\cos(\phi) & -\rho\sin(\phi) & 0\end{vmatrix}\\[2.5mm] &=\cos(\phi)\begin{vmatrix}\rho\cos(\phi)\cos(\theta) & -\rho\sin(\phi)\sin(\theta)\\[2.5mm] \rho\cos(\phi)\sin(\theta) & \rho\sin(\phi)\cos(\theta)\end{vmatrix}+\rho\sin(\phi)\begin{vmatrix}\sin(\phi)\cos(\theta) & -\rho\sin(\phi)\sin(\theta)\\[2.5mm] \sin(\phi)\sin(\theta) & \rho\sin(\phi)\cos(\theta)\end{vmatrix}\\[2.5mm] &=\cos(\phi)\left(\rho^2\sin(\phi)\cos(\phi)\cos^2(\theta)+\rho^2\sin(\phi)\cos(\phi)\sin^2(\theta)\right) +\rho\sin(\phi)\left(\rho\sin^2(\phi)\cos^2(\theta)+\rho\sin^2(\phi)\sin^2(\theta)\right)\\[2.5mm] &=\cos(\phi)\cdot\rho^2\sin(\phi)\cos(\phi)+\rho\sin(\phi)\cdot\rho\sin^2(\phi) =\rho^2\sin(\phi)\left(\cos^2(\phi)+\sin^2(\phi)\right)=\rho^2\sin(\phi)>0. \end{align*}

---

Laatst gewijzigd op 5 oktober 2021