Analyse – Meervoudige integralen – Toepassingen van tweevoudige integralen

Laat \(\rho(x,y)\geq0\) een massadichtheidsfunctie zijn, gedefinieerd op een gebied \(D\) in \(\mathbb{R}^2\). Dan is

\[m=\iint\limits_D\rho(x,y)\,dA\]

de (totale) massa} van \(D\).

Er zijn ook andere soorten dichtheid. Bijvoorbeeld, als een electrische lading verdeeld is over een gebied \(D\) en de ladingsdichtheid wordt gegeven door de functie \(\sigma(x,y)\), dan wordt de totale lading \(Q\) gegeven door

\[Q=\iint\limits_D\sigma(x,y)\,dA.\]

Dichtheid en massa

Laat \(\rho(x,y)\geq0\) een massadichtheidsfunctie zijn op een gebied \(D\) in \(\mathbb{R}^2\). Dan geldt: de (totale) massa van \(D\) is \(m=\displaystyle\iint\limits_D\rho(x,y)\,dA\).

Momenten

Verder geldt: het moment van \(D\) ten opzichte van de \(y\)-as is:

\[\iint\limits_Dx\,\rho(x,y)\,dA.\]

Evenzo, het moment van \(D\) ten opzichte van de \(x\)-as is:

\[\iint\limits_Dy\,\rho(x,y)\,dA.\]

Massamiddelpunt

Nu wordt het massamiddelpunt \((\overline{x},\overline{y})\) van \(D\) gegeven door

\[\overline{x}=\frac{1}{m}\iint\limits_Dx\,\rho(x,y)\,dA\quad\textrm{en}\quad\overline{y}=\frac{1}{m}\iint\limits_Dy\,\rho(x,y)\,dA,\]

waarbij \(m=\displaystyle\iint\limits_D\rho(x,y)\,dA\).

Voorbeelden

1) Stewart §15.4, Voorbeeld 2
Bepaal de massa en het massamiddelpunt van een driehoekige dunne plaat met hoekpunten \((0,0)\), \((1,0)\) en \((0,2)\) als de massadichtheidsfunctie \(\rho(x,y)=1+3x+y\) is.

Oplossing: De driehoek wordt getoond in het plaatje. Merk op dat de hypotenusa wordt gegeven door \(2x+y=2\). Dus geldt

\[m=\iint\limits_D\rho(x,y)\,dA=\int_0^1\int_0^{2-2x}(1+3x+y)\,dy\,dx=\int_0^1\bigg[y+3xy+\frac{1}{2}y^2\bigg]_{y=0}^{2-2x}\,dx =4\int_0^1(1-x^2)\,dx=3\bigg[x-\frac{1}{3}x^3\bigg]_{x=0}^1=\frac{8}{3}.\]

Het moment ten opzichte van de \(y\)-as is

\[\iint\limits_Dx\,\rho(x,y)\,dA=\int_0^1\int_0^{2-2x}(x+3x^2+xy)\,dy\,dx=\int_0^1\bigg[xy+3x^2y+\frac{1}{2}xy^2\bigg]_{y=0}^{2-2x}\,dx =4\int_0^1(x-x^3)\,dx=\bigg[2x^2-x^4\bigg]_{x=0}^1=1.\]

Het moment ten opzichte van de \(x\)-as is

\begin{align*} \iint\limits_Dy\,\rho(x,y)\,dA&=\int_0^1\int_0^{2-2x}(y+3xy+y^2)\,dy\,dx=\int_0^1\bigg[\frac{1}{2}y^2+\frac{3}{2}xy^2+\frac{1}{3}y^3\bigg]_{y=0}^{2-2x}\,dx =\frac{1}{3}\int_0^1(14-18x-6x^2+10x^3)\,dx\\[2.5mm] &=\frac{1}{3}\bigg[14x-9x^2-2x^3+\frac{5}{2}x^4\bigg]_{x=0}^1=\frac{11}{6}. \end{align*}

Hieruit volgt dat het massamiddelpunt \((\overline{x},\overline{y})\) is, met \(\overline{x}=\displaystyle\frac{1}{8/3}=\frac{3}{8}\) en \(\overline{y}=\displaystyle\frac{11/6}{8/3}=\frac{11}{16}\).

2) Stewart §15.4, Voorbeeld 3
De massadichtheid in een punt op een dunne plaat in de vorm van een halve cirkel is evenredig met de afstand tot het middelpunt van de cirkel. Bepaal het massamiddelpunt van de dunne plaat.

Oplossing: Laat de dunne plaat de bovenste helft zijn van de cirkelschijf \(x^2+y^2\leq a^2\). Dan is de afstand van een punt \((x,y)\) tot het middelpunt van de cirkelschijf (de oorsprong) gelijk aan \(\sqrt{x^2+y^2}\). De massadichtheidsfunctie is dus \(\rho(x,y)=K\sqrt{x^2+y^2}\) met \(K\) een constante. Met behulp van poolcoördinaten volgt dan voor de massa

\[m=\iint\limits_D\rho(x,y)\,dA=K\iint\limits_D\sqrt{x^2+y^2}\,dA=K\int_0^{\pi}\int_0^ar\cdot r\,dr\,d\theta=K\int_0^{\pi}d\theta\,\int_0^ar^2\,dr =K\cdot\pi\cdot\frac{1}{3}r^3\bigg|_{r=0}^a=\frac{1}{3}K\pi a^3.\]

Vanwege de symmetrie van zowel de dunne plaat als de massadichtheidsfunctie ten opzichte van de \(y\)-as, moet het massamiddelpunt op de \(y\)-as liggen, dat wil zeggen, \(\overline{x}=0\). Het moment ten opzichte van de \(x\)-as is

\[\iint\limits_Dy\,\rho(x,y)\,dA=K\int_0^{\pi}\int_0^ar\sin(\theta)\cdot r\cdot r\,dr\,d\theta=K\,\int_0^{\pi}\sin(\theta)\,d\theta\,\int_0^ar^3\,dr =K\,\bigg[-\cos(\theta)\bigg]_{\theta=0}^{\pi}\,\bigg[\frac{1}{4}r^4\bigg]_{r=0}^a=\frac{1}{2}Ka^4.\]

Dus geldt: \(\overline{y}=\displaystyle\frac{\frac{1}{2}Ka^4}{\frac{1}{3}K\pi a^3}=\frac{3a}{2\pi}\).

3) Bepaal het massamiddelpunt van het gebied ingesloten door de cardioïde die in poolcoördinaten wordt gegeven door \(r=2+2\cos(\theta)\):

Vanwege de symmetrie concluderen we dat het massamiddelpunt gelijk is aan: \((\overline{x},0)\) met \(\overline{x}=\displaystyle\frac{\iint\limits_Dx\,dA}{\iint\limits_D1\,dA}\). Nu geldt met behulp van \(\cos(2\theta)=2\cos^2(\theta)-1\):

\begin{align*} \iint\limits_D1\,dA&=\int_0^{2\pi}\int_0^{2+2\cos(\theta)}r\,dr\,d\theta=\int_0^{2\pi}\frac{1}{2}(2+2\cos(\theta))^2\,d\theta =\int_0^{2\pi}\left(2+4\cos(\theta)+2\cos^2(\theta)\right)\,d\theta\\[2.5mm] &=\int_0^{2\pi}\left(3+4\cos(\theta)+\cos(2\theta)\right)\,d\theta=\bigg[3\theta+4\sin(\theta)+\frac{1}{2}\sin(2\theta)\bigg]_{\theta=0}^{2\pi}=6\pi \end{align*}

en

\begin{align*} \iint\limits_Dx\,dA&=\int_0^{2\pi}\int_0^{2+2\cos(\theta)}r\cos(\theta)\cdot r\,dr\,d\theta=\int_0^{2\pi}\frac{1}{3}(2+2\cos(\theta))^3\cos(\theta)\,d\theta\\[2.5mm] &=\int_0^{2\pi}\left(\frac{8}{3}\cos(\theta)+8\cos^2(\theta)+8\cos^3(\theta)+\frac{8}{3}\cos^4(\theta)\right)\,d\theta=\ldots=10\pi. \end{align*}

We concluderen dat \(\overline{x}=\displaystyle\frac{10\pi}{6\pi}=\frac{5}{3}\). Het massamiddelpunt is dus \((\frac{5}{3},0)\).

Traagheidsmomenten

Laat \(\rho(x,y)\geq0\) een massadichtheidsfunctie zijn op een gebied \(D\) in \(\mathbb{R}^2\).

Dan is het traagheidsmoment van \(D\) ten opzichte van de \(x\)-as:

\[I_x=\iint\limits_Dy^2\,\rho(x,y)\,dA.\]

Evenzo is het traagheidsmoment van \(D\) ten opzichte van de \(y\)-as:

\[I_y=\iint\limits_Dx^2\,\rho(x,y)\,dA.\]

Het traagheidsmoment ten opzichte van de oorsprong is:

\[I_0=\iint\limits_D(x^2+y^2)\rho(x,y)\,dA.\]

Merk op, dat \(I_0=I_x+I_y\).

Stewart §15.4, Voorbeeld 4
Bepaal de traagheidsmomenten \(I_x\), \(I_y\) en \(I_0\) van een homogene cirkelschijf \(D\) met massadichtheid \(\rho(x,y)=\rho\), middelpunt de oorsprong en straal \(a\).

Oplossing: De rand van de cirkelschijf \(D\) is de cirkel \(x^2+y^2=a^2\). Dus volgt met behulp van poolcoördinaten:

\[I_0=\iint\limits_D(x^2+y^2)\,\rho\,dA=\rho\int_0^{2\pi}\int_0^ar^2\cdot r\,dr\,d\theta=\rho\int_0^{2\pi}d\theta\,\int_0^ar^3\,dr =\rho\cdot2\pi\cdot\frac{1}{4}a^4=\frac{1}{2}\pi\rho a^4.\]

Nu gebruiken we het feit dat \(I_0=I_x+I_y\) en dat \(I_x=I_y\), vanwege de symmetrie, om te concluderen dat \(I_x=I_y=\tfrac{1}{2}I_0=\tfrac{1}{4}\pi\rho a^4\).

Het is ook mogelijk om deze traagheidsmomenten rechtstreeks te berekenen. Met behulp van \(\displaystyle\int_0^{2\pi}\sin^2(\theta)\,d\theta=\pi=\int_0^{2\pi}\cos^2(\theta)\,d\theta\) volgt

\[I_x=\iint\limits_Dy^2\,\rho(x,y)\,dA=\rho\int_0^{2\pi}\int_0^ar^2\sin^2(\theta)\cdot r\,dr\,d\theta =\rho\,\int_0^{2\pi}\sin^2(\theta)\,d\theta\,\int_0^ar^3\,dr=\rho\cdot\pi\cdot\frac{1}{4}a^4=\frac{1}{4}\pi\rho a^4\]

en

\[I_y=\iint\limits_Dx^2\,\rho(x,y)\,dA=\rho\int_0^{2\pi}\int_0^ar^2\cos^2(\theta)\cdot r\,dr\,d\theta =\rho\,\int_0^{2\pi}\cos^2(\theta)\,d\theta\,\int_0^ar^3\,dr=\rho\cdot\pi\cdot\frac{1}{4}a^4=\frac{1}{4}\pi\rho a^4.\]

---

Laatst gewijzigd op 29 september 2021