Analyse – Meervoudige integralen – Tweevoudige integralen over rechthoeken

De stelling van Fubini

Stelling: Als \(f\) continu is op de rechthoek

\[R=[a,b]\times[c,d]=\{(x,y)\,|\,a\leq x\leq b,\;c\leq y\leq d\},\]

dan geldt:

\[\iint\limits_Rf(x,y)\,dA=\int_a^b\int_c^df(x,y)\,dy\,dx=\int_c^d\int_a^bf(x,y)\,dx\,dy.\]

Meer algemeen geldt dit als we aannemen dat \(f\) begrensd is op \(R\), \(f\) discontinu is op slechts een eindig aantal gladde krommen, en de herhaalde integralen bestaan.

Stewart §15.1, Example 5
Bereken \(\displaystyle\iint\limits_R(x-3y^2)\,dA\), waarbij \(R=[0,2]\times[1,2]\).

Oplossing: Er geldt:

\[\iint\limits_R(x-3y^2)\,dA=\int_0^2\int_1^2(x-3y^2)\,dy\,dx=\int_0^2\bigg[xy-y^3\bigg]_{y=1}^2\,dx=\int_0^2(x-7)\,dx =\bigg[\frac{1}{2}x^2-7x\bigg]_{x=0}^2=-12\]

en

\[\iint\limits_R(x-3y^2)\,dA=\int_1^2\int_0^2(x-3y^2)\,dx\,dy=\int_1^2\bigg[\frac{1}{2}x^2-3xy^2\bigg]_{x=0}^2\,dy =\int_1^2\left(2-6y^2\right)\,dy=\bigg[2y-2y^3\bigg]_{y=1}^2=-12.\]

Stewart §15.1, Example 6
Bereken \(\displaystyle\iint\limits_Ry\sin(xy)\,dA\), waarbij \(R=[1,2]\times[0,\pi]\).

Oplossing: Er geldt:

\[\iint\limits_Ry\sin(xy)\,dA=\int_0^{\pi}\int_1^2y\sin(xy)\,dx\,dy=\int_0^{\pi}\bigg[-\cos(xy)\bigg]_{x=1}^2\,dy =\int_0^{\pi}\left(\cos(x)-\cos(2x)\right)\,dx=\bigg[\sin(x)-\frac{1}{2}\sin(2x)\bigg]_{x=0}^{\pi}=0.\]

Hier is de andere volgorde aanzienlijk lastiger. Met behulp van partiële integratie volgt dat

\[\int y\sin(xy)\,dy=-\frac{1}{x}\int y\,d\cos(xy)=-\frac{y}{x}\cos(xy)+\frac{1}{x}\int\cos(xy)\,dy=-\frac{y}{x}\cos(xy)+\frac{1}{x^2}\sin(xy)+C.\]

Dus geldt:

\[\iint\limits_Ry\sin(xy)\,dA=\int_1^2\int_0^{\pi}y\sin(xy)\,dy\,dx=\int_1^2\bigg[-\frac{y}{x}\cos(xy)+\frac{1}{x^2}\sin(xy)\bigg]_{y=0}^{\pi} =\int_1^2\left(-\frac{\pi}{x}\cos(\pi x)+\frac{1}{x^2}\sin(\pi x)\right)\,dx.\]

Merk op dat \(-\displaystyle\frac{1}{x}\sin(\pi x)\) een primitieve is, want met behulp van de kettingregel volgt: \(\displaystyle\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{x}\sin(\pi x)\right)=-\frac{\pi}{x}\cos(\pi x)+\frac{1}{x^2}\sin(\pi x)\). Dus:

\[\iint\limits_Ry\sin(xy)\,dA=\int_1^2\int_0^{\pi}y\sin(xy)\,dy\,dx=\int_1^2\left(-\frac{\pi}{x}\cos(\pi x)+\frac{1}{x^2}\sin(\pi x)\right)\,dx =\bigg[-\frac{1}{x}\sin(\pi x)\bigg]_{x=1}^2=\sin(\pi)-\frac{1}{2}\sin(2\pi)=0.\]

Gemiddelde waarde

De gemiddelde waarde van een functie \(f\) van één variabele gedefinieerd op een interval \([a,b]\) is \(\displaystyle\frac{1}{b-a}\int_a^bf(x)\,dx\).

Evenzo geldt: de gemiddelde waarde van een functie \(f\) van twee variabelen gedefinieerd op een rechthoek \(R\) is \(\displaystyle\frac{1}{\textrm{opp}(R)}\iint\limits_Rf(x,y)\,dA\).

De constante van Catalan

Eerder hebben we de constante van Catalan \(G\) gezien, die gedefinieerd is als de som van de reeks \(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)^2}\).

We hebben toen ook diverse (integraal)representaties voor \(G\) gevonden, zoals: \(\displaystyle\int_0^1\frac{\arctan(x)}{x}\,dx=G\).

Nu kunnen we dit gebruiken om een mooie representatie als een "tweevoudige integraal" af te leiden: \(\displaystyle\int_0^1\int_0^1\frac{dx\,dy}{1+x^2y^2}=G\). Het bewijs is recht-toe-recht-aan:

\[\int_0^1\int_0^1\frac{dx\,dy}{1+x^2y^2}=\int_0^1\int_0^1\frac{dy\,dx}{1+x^2y^2}=\int_0^1\bigg[\frac{\arctan(xy)}{x}\bigg]_{y=0}^1\,dx=\int_0^1\frac{\arctan(x)}{x}\,dx=G.\]

Als alternatief kunnen we gebruikmaken van \(\displaystyle\frac{1}{1-t}=\sum_{n=0}^{\infty}t^n\) voor \(|t|<1\) zodat

\[\int_0^1\int_0^1\frac{dx\,dy}{1+x^2y^2}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\int_0^1\int_0^1(xy)^{2n}\,dx\,dy =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\left(\int_0^1t^{2n}\,dt\right)^2=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)^2}=G.\]

---

Laatst gewijzigd op 27 september 2021