Analyse – Meervoudige integralen – Drievoudige integralen in cilindercoördinaten

Cilindercoördinaten zijn:

\[\left\{\begin{array}{l}x=r\cos(\theta)\\[2.5mm]y=r\sin(\theta)\\[2.5mm]z=z\end{array}\right.\quad\Longrightarrow\quad r^2=x^2+y^2\quad\textrm{en}\quad\tan(\theta)=\frac{y}{x}.\]

Het volume-element is gelijk aan de oppervlakte van de polaire rechthoek vermenigvuldigd met de hoogte: \(dV=r\,dz\,dr\,d\theta\).

Neem aan dat \(E\) een type 1 gebied is waarvan de projectie \(D\) op het \(xy\)-vlak handig is te beschrijven in poolcoördinaten. Stel dus dat \(f\) continu is en dat

\[E=\{(x,y,z)\,|\,(x,y)\in D,\;u_1(x,y)\leq z\leq u_2(x,y)\},\]

waarbij \(D\) in poolcoördinaten wordt gegeven door

\[D=\{(r\cos(\theta),r\sin(\theta))\,|\,\alpha\leq\theta\leq\beta,\;h_1(\theta)\leq r\leq h_2(\theta)\}.\]

Dan geldt

\[\iiint\limits_Ef(x,y,z)\,dV=\int_{\alpha}^{\beta}\int_{h_1(\theta)}^{h_2(\theta)}\int_{u_1(r\cos(\theta),r\sin(\theta))}^{u_2(r\cos(\theta),r\sin(\theta))} f(r\cos(\theta),r\sin(\theta),z)\,r\,dz\,dr\,d\theta.\]

Stewart §15.7, Voorbeeld 3
Een lichaam \(E\) ligt binnen de cilinder \(x^2+y^2=1\), onder het vlak \(z=4\) en boven de paraboloïde \(z=1-x^2-y^2\). De massadichtheid in elk punt is evenredig met de afstand tot de as van de cilinder. Bepaal de massa van \(E\).

Oplossing: In cilindercoördinaten geldt

\[E=\{(r\cos(\theta),r\sin(\theta),z)\,|\,0\leq\theta\leq2\pi,\;0\leq r\leq1,\;1-r^2\leq z\leq 3\}.\]

Omdat de massadichtheid in \((x,y,z)\) evenredig is met de afstand tot de \(z\)-as, is de massadichtheidsfunctie gelijk aan \(K\sqrt{x^2+y^2}=K\,r\) met \(K\) een constante. Dus geldt:

\begin{align*} m&=\iiint\limits_EK\sqrt{x^2+y^2}\,dV=\int_0^{2\pi}\int_0^1\int_{1-r^2}^4K\,r\,r\,dz\,dr\,d\theta=K\int_0^{2\pi}d\theta \int_0^1r^2\left(4-(1-r^2)\right)\,dr\\[2.5mm] &=K\,2\pi\int_0^1(3r^2+r^4)\,dr=2\pi\,K\bigg[r^3+\frac{1}{5}r^5\bigg]_{r=0}^1=\frac{12}{5}\pi\,K. \end{align*}

Stewart §15.7, Voorbeeld 4
Bereken \(\displaystyle\int_{-2}^2\int_{-\sqrt{4-x^2}}^{\sqrt{4-x^2}}\int_{\sqrt{x^2+y^2}}^2(x^2+y^2)\,dz\,dy\,dx\).

Oplossing: Deze herhaalde integraal is gelijk aan een drievoudige integraal over het lichaam

\[E=\{(x,y,z)\,|\,-2\leq x\leq2,\;-\sqrt{4-x^2}\leq y\leq\sqrt{4-x^2},\;\sqrt{x^2+y^2}\leq z\leq 2\}\]

en de projectie van \(E\) op het \(xy\)-vlak is de cirkelschijf \(x^2+y^2\leq4\). Het onderste oppervlak van \(E\) is de kegel \(z=\sqrt{x^2+y^2}\) en het bovenste oppervlak is het vlak \(z=4\). In cilindercoördinaten geldt dus

\[E=\{(r\cos(\theta),r\sin(\theta),z)\,|\,0\leq\theta\leq2\pi,\;0\leq r\leq 2,\;r\leq z\leq2\}.\]

Dus geldt

\begin{align*} \int_{-2}^2\int_{-\sqrt{4-x^2}}^{\sqrt{4-x^2}}\int_{\sqrt{x^2+y^2}}^2(x^2+y^2)\,dz\,dy\,dx&=\iiint\limits_E(x^2+y^2)\,dV =\int_0^{2\pi}\int_0^2\int_r^2r^2\,r\,dz\,dr\,d\theta=\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^2r^3(2-r)\,dr\\[2.5mm] &=2\pi\bigg[\frac{1}{2}r^4-\frac{1}{5}r^5\bigg]_{r=0}^2=2\pi\left(8-\frac{32}{5}\right)=2\pi\cdot\frac{8}{5}=\frac{16}{5}\pi. \end{align*}

---

Laatst gewijzigd op 4 oktober 2021