Analyse – Meervoudige integralen – Drievoudige integralen

Laat \(\rho(x,y,z)\geq0\) een massadichtheidsfunctie zijn gedefinieerd op een lichaam \(E\) in \(\mathbb{R}^3\). Nu willen komen tot een definitie van een drievoudige integraal

\[\iiint\limits_E\rho(x,y,z)\,dV,\]

die gelijk is aan de (totale) massa van het lichaam \(E\).

Beschouw de rechthoekige box \(B\) gegeven door

\[B=[a,b]\times[c,d]\times[e,f]=\{(x,y,z)\,|\,a\leq x\leq b,\;c\leq y\leq d,\;e\leq z\leq f\}.\]

De eerste stap is om \(B\) te verdelen in deel-boxen. We doen dit door het interval \([a,b]\) te verdelen in \(\ell\) deelintervallen \([x_{i-1},x_i]\) van gelijke breedte \(\Delta x=(b-a)/\ell\), het interval \([c,d]\) te verdelen in \(m\) deelintervallen \([y_{j-1},y_j]\) van gelijke breedte \(\Delta y=(d-c)/m\) en het interval \([e,f]\) te verdelen in \(n\) deelintervallen \([z_{k-1},z_k]\) van gelijke breedte \(\Delta z=(f-e)/n\).

Dit verdeelt de rechthoekige box \(B\) in deel-boxen

\[B_{ijk}=[x_{i-1},x_i]\times[y_{j-1},y_j]\times[z_{k-1},z_k].\]

Elke deel-box \(B_{ijk}\) heeft volume \(\Delta V=\Delta x\,\Delta y\,\Delta z\).

Nu vormen we de drievoudige Riemannsom

\[\sum_{i=1}^{\ell}\sum_{j=1}^m\sum_{k=1}^n\rho(x_{ijk}^*,y_{ijk}^*z_{ijk}^*)\,\Delta V,\]

waarbij het strooipunt \((x_{ijk}^*,y_{ijk}^*,z_{ijk}^*)\) in \(B_{ijk}\) ligt. Dit leidt tot

Definitie: De drievoudige integraal van \(\rho\) over de rechthoekige box \(B\) is

\[\iiint\limits_B\rho(x,y,z)\,dV=\lim\limits_{\ell\to\infty}\lim\limits_{m\to\infty}\lim\limits_{n\to\infty} \sum_{i=1}^{\ell}\sum_{j=1}^m\sum_{k=1}^n\rho(x_{ijk}^*,y_{ijk}^*z_{ijk}^*)\,\Delta V.\]

De drievoudige integraal bestaat als \(\rho\) continu is. We kunnen het strooipunt willekeurig in de deel-box kiezen, maar als we hiervoor het punt \((x_i,y_j,z_k)\) kiezen, dan krijgen we een eenvoudiger uitziende uitdrukking voor de drievoudige integraal:

\[\iiint\limits_B\rho(x,y,z)\,dV=\lim\limits_{\ell\to\infty}\lim\limits_{m\to\infty}\lim\limits_{n\to\infty} \sum_{i=1}^{\ell}\sum_{j=1}^m\sum_{k=1}^n\rho(x_i,y_j,z_k)\,\Delta V.\]

De stelling van Fubini

Stelling: Als \(\rho\) continu is op een rechthoekige box \(B=[a,b]\times[c,d]\times[e,f]\), dan geldt

\[\iiint\limits_B\rho(x,y,z)\,dV=\int_e^f\int_c^d\int_a^b\rho(x,y,z)\,dx\,dy\,dz.\]

De herhaalde integraal aan de rechterkant kan worden geschreven in zes verschillende volgordes, die allemaal dezelfde uitkomst geven.

Stewart §15.6, Voorbeeld 1
Bereken de drievoudige integraal \(\displaystyle\iiint\limits_Bxyz^2\,dV\), waarbij \(B\) de rechthoekige box is gegeven door \[B=\{(x,y,z)\,|\,0\leq x\leq1,\;-1\leq y\leq2,\;0\leq z\leq3\}.\]

Oplossing: Merk op dat

\begin{align*} \iiint\limits_Bxyz^2\,dV&=\int_0^3\int_{-1}^2\int_0^1xyz^2\,dx\,dy\,dz=\left(\int_0^1x\,dx\right)\left(\int_{-1}^2y\,dy\right)\left(\int_0^3z^2\,dz\right)\\[2.5mm] &=\bigg[\frac{1}{2}x^2\bigg]_{x=0}^1\bigg[\frac{1}{2}y^2\bigg]_{y=-1}^2\bigg[\frac{1}{3}z^3\bigg]_{z=0}^3 =\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{2}\cdot9=\frac{27}{4}. \end{align*}

Een drievoudige integraal over een algemeen begrensd gebied (een lichaam) \(E\) in \(\mathbb{R}^3\) wordt gedefinieerd op ongeveer dezelfde manier als die voor tweevoudige integralen. We sluiten \(E\) in in een rechthoekige box \(B\) en we definiëren een functie \(\Omega\) die overeenkomt met \(\rho\) in \(E\) en die \(0\) is voor punten in \(B\) buiten \(E\). Dan geldt:

\[\iiint\limits_E\rho(x,y,z)\,dV=\iiint\limits_B\Omega(x,y,z)\,dV.\]

Deze integraal bestaat als \(\rho\) continu is en de randen van \(E\) "redelijk glad" zijn.

Gebieden van type 1

Een lichaam \(E\) in \(\mathbb{R}^3\) heet van type 1 als het ligt tussen de grafieken van twee continue functies van \(x\) en \(y\):

\[E=\{(x,y,z)\,|\,(x,y)\in D,\;u_1(x,y)\leq z\leq u_2(x,y)\},\]

waarbij \(D\) de projectie is van \(E\) op het \(xy\)-vlak. Dan geldt:

\[\iiint\limits_E\rho(x,y,z)\,dV=\iint\limits_D\left(\int_{u_1(x,y)}^{u_2(x,y)}\rho(x,y,z)\,dz\right)\,dA.\]

Gebieden van type 2

Een lichaam \(E\) in \(\mathbb{R}^3\) heet van type 2 als het ligt tussen de grafieken van twee continue functies van \(y\) en \(z\):

\[E=\{(x,y,z)\,|\,(y,z)\in D,\;u_1(y,z)\leq x\leq u_2(y,z)\},\]

waarbij \(D\) de projectie is van \(E\) op het \(yz\)-vlak. Dan geldt:

\[\iiint\limits_E\rho(x,y,z)\,dV=\iint\limits_D\left(\int_{u_1(y,z)}^{u_2(y,z)}\rho(x,y,z)\,dx\right)\,dA.\]

Gebieden van type 3

Een lichaam \(E\) in \(\mathbb{R}^3\) heet van type 3 als het ligt tussen de grafieken van twee continue functies van \(x\) en \(z\):

\[E=\{(x,y,z)\,|\,(x,z)\in D,\;u_1(x,z)\leq y\leq u_2(x,z)\},\]

waarbij \(D\) de projectie is van \(E\) op het \(xz\)-vlak. Dan geldt:

\[\iiint\limits_E\rho(x,y,z)\,dV=\iint\limits_D\left(\int_{u_1(x,z)}^{u_2(x,z)}\rho(x,y,z)\,dy\right)\,dA.\]

Stewart §15.6, Voorbeeld 2
Bereken \(\displaystyle\iiint\limits_Ez\,dV\), waarbij \(E\) het lichaam is begrensd door het viervlak gevormd door de vier vlakken \(x=0\), \(y=0\), \(z=0\) en \(x+y+z=1\).

Oplossing: Merk op dat de projectie van \(E\) op het \(xy\)-vlak gelijk is aan

\[D=\{(x,y)\,|\,0\leq x\leq 1,\;0\leq y\leq 1-x\}.\]

Als we \(E\) beschrijven als een type 1 gebied, het viervlak ligt tussen de vlakken \(z=0\) en\(z=1-x-y\), dan geldt:

\begin{align*} \iiint\limits_Ez\,dV&=\iint\limits_D\left(\int_0^{1-x-y}z\,dz\right)\,dA=\frac{1}{2}\iint\limits_D(1-x-y)^2\,dA =\frac{1}{2}\int_0^1\int_0^{1-x}(1-x-y)^2\,dy\,dx\\[2.5mm] &=\int_0^1\bigg[-\frac{1}{6}(1-x-y)^3\bigg]_{y=0}^{1-x}\,dx =\frac{1}{6}\int_0^1(1-x)^3\,dx=-\frac{1}{24}(1-x)^4\bigg|_{x=0}^1=\frac{1}{24}. \end{align*}

Stewart §15.6, Voorbeeld 3
Bereken \(\displaystyle\iiint\limits_E\sqrt{x^2+z^2}\,dV\), waarbij \(E\) het gebied is begrensd door de paraboloïde \(y=x^2+z^2\) en het vlak \(y=4\).

Oplossing: Merk op dat de projectie van \(E\) op het \(xy\)-vlak gelijk is aan

\[D_1=\{(x,y)\,|\,-2\leq x\leq 2,\;x^2\leq y\leq 4\}.\]

Dus, als we \(E\) zien als een type 1 gebied, dan volgt

\[\iiint\limits_E\sqrt{x^2+z^2}\,dV=\iint\limits_{D_1}\left(\int_{-\sqrt{y-x^2}}^{\sqrt{y-x^2}}\sqrt{x^2+z^2}\,dz\right)\,dA =\int_{-2}^2\int_{x^2}^4\int_{-\sqrt{y-x^2}}^{\sqrt{y-x^2}}\sqrt{x^2+z^2}\,dz\,dy\,dx,\]

maar deze integraal is extreem moeilijk te berekenen.

Als we echter \(E\) zien als een type 3 gebied, dan is de projectie van \(E\) op het \(xz\)-vlak gelijk aan de cirkelschijf

\[D_3=\{(x,z)\,|\,x^2+z^2\leq 4\}.\]

Dan geldt:

\(\displaystyle\iiint\limits_E\sqrt{x^2+z^2}\,dV=\iint\limits_{D_3}\left(\int_{x^2+z^2}^4\sqrt{x^2+z^2}\,dy\right)\,dA =\iint\limits_{D_3}(4-x^2-z^2)\sqrt{x^2+z^2}\,dA\).

Met behulp van poolcoördinaten volgt nu

\begin{align*} \iiint\limits_E\sqrt{x^2+z^2}\,dV&=\iint\limits_{D_3}(4-x^2-z^2)\sqrt{x^2+z^2}\,dA=\int_0^{2\pi}\int_0^2(4-r^2)\,r\,r\,dr\,d\theta\\[2.5mm] &=\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^2(4r^2-r^4)\,dr=2\pi\bigg[\frac{4}{3}r^3-\frac{1}{5}r^5\bigg]_{r=0}^2 =2\pi\left(\frac{32}{3}-\frac{32}{5}\right)=2\pi\cdot32\cdot\frac{2}{15}=\frac{128}{15}\pi. \end{align*}

Toepassingen van drievoudige integralen

Als \(\rho(x,y,z)=1\) voor alle punten \((x,y,z)\) in \(E\), dan is de (totale) massa van \(E\) gelijk aan het volume van \(E\):

\[\textrm{vol}(E)=\iiint\limits_E1\,dV.\]

Als \(\rho(x,y,z)\geq0\) een massadichtheidsfunctie is gedefinieerd op een lichaam \(E\) in \(\mathbb{R}^3\), dan is

\[m=\iiint\limits_E\rho(x,y,z)\,dV\]

de (totale) massa van \(E\). De integralen

\[\iiint\limits_Ex\,\rho(x,y,z)\,dV,\quad\iiint\limits_Ey\,\rho(x,y,z)\,dV\quad\textrm{and}\quad\iiint\limits_Ez\,\rho(x,y,z)\,dV\]

zijn dan de momenten van \(E\) ten opzichte van de drie coördinaatvlakken \(x=0\), \(y=0\) en \(z=0\) respectievelijk.

Het massamiddelpunt van \(E\) bevindt zich in het punt \((\overline{x},\overline{y},\overline{z})\) met

\[\overline{x}=\frac{1}{m}\iiint\limits_Ex\,\rho(x,y,z)\,dV,\quad\overline{y}=\frac{1}{m}\iiint\limits_Ey\,\rho(x,y,z)\,dV \quad\textrm{en}\quad\overline{z}=\frac{1}{m}\iiint\limits_Ez\,\rho(x,y,z)\,dV,\]

waarbij \(m=\displaystyle\iiint\limits_E\rho(x,y,z)\,dV\) de (totale) massa van \(E\) is.

Als de massadichtheidsfunctie \(\rho(x,y,z)\) constant is, dan heet het massamiddelpunt ook wel het zwaartepunt van het lichaam \(E\).

Stewart §15.6, Voorbeeld 5
Gebruik een drievoudige integraal om het volume te vinden van het viervlak \(T\) begrensd door de vlakken \(x+2y+z=2\), \(x=2y\), \(x=0\) en \(z=0\).

Oplossing: De projectie van het viervlak \(T\) op het \(xy\)-vlak is

\[D=\{(x,y)\,|\,0\leq x\leq 1,\;\frac{1}{2}x\leq y\leq 1-\frac{1}{2}x\}.\]

Dus geldt

\begin{align*} \textrm{vol}(T)&=\iiint\limits_T1\,dV=\iint\limits_D\left(\int_0^{2-x-2y}dz\right)\,dA=\int_0^1\int_{\frac{1}{2}x}^{1-\frac{1}{2}x}(2-x-2y)\,dy\,dx =\int_0^1\bigg[2y-xy-y^2\bigg]_{y=\frac{1}{2}x}^{1-\frac{1}{2}x}\,dx\\[2.5mm] &=\int_0^1\left(\left(1-\frac{1}{2}x\right)^2-x+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{4}x^2\right)\,dx=\int_0^1(1-2x+x^2)\,dx =-\frac{1}{3}(1-x)^3\bigg|_{x=0}^1=\frac{1}{3}. \end{align*}

Stewart §15.6, Voorbeeld 6
Bepaal het massamiddelpunt van een lichaam met constante dichtheid dat begrensd wordt door de parabolische cilinder \(x=y^2\) en de vlakken \(x=z\), \(z=0\) en \(x=1\).

Oplossing: De projectie van het lichaam \(E\) op het \(xy\)-vlak is

\[D=\{(x,y)\,|\,-1\leq y\leq 1,\;y^2\leq x\leq 1\}.\]

Dus, als de massadichtheid gelijk is aan \(\rho(x,y,z)=\rho\), dan is

\[m=\iiint\limits_E\rho\,dV=\iint\limits_D\left(\int_0^x\rho\,dz\right)\,dA=\rho\int_{-1}^1\int_{y^2}^1x\,dx\,dy =\frac{1}{2}\rho\int_{-1}^1(1-y^4)\,dy=\rho\int_0^1(1-y^4)\,dy=\rho\bigg[y-\frac{1}{5}y^5\bigg]_{y=0}^1=\frac{4}{5}\rho.\]

Als het massamiddelpunt gelijk is aan \((\overline{x},\overline{y},\overline{z})\), dan is vanwege de symmetrie van \(E\) en de constante massadichtheid, \(\overline{y}=0\). Voor de andere momenten volgt

\[\iiint\limits_Ex\,\rho\,dV=\rho\iint\limits_D\left(\int_0^xx\,dz\right)\,dA=\rho\int_{-1}^1\int_{y^2}^1x^2\,dx\,dy =\frac{1}{3}\rho\int_{_1}^1(1-y^6)\,dy=\frac{2}{3}\int_0^1(1-y^6)\,dy=\frac{2}{3}\rho\bigg[y-\frac{1}{7}y^y\bigg]_{y=0}^1=\frac{4}{7}\rho\]

en

\[\iiint\limits_Ez\,\rho\,dV=\rho\iint\limits_D\left(\int_0^xz\,dz\right)\,dA=\frac{1}{2}\rho\int_{-1}^1\int_{y^2}^1x^2\,dx\,dy =\frac{1}{6}\int_{-1}^1(1-y^6)\,dy=\frac{1}{3}\int_0^1(1-y^6)\,dy=\frac{1}{3}\rho\bigg[y-\frac{1}{7}y^y\bigg]_{y=0}^1=\frac{2}{7}\rho.\]

Hieruit volgt dat \(\overline{x}=\displaystyle\frac{\frac{4}{7}\rho}{\frac{4}{5}\rho}=\frac{5}{7}\) en \(\overline{z}=\displaystyle\frac{\frac{2}{7}\rho}{\frac{4}{5}\rho}=\frac{5}{14}\). Dus, het massamiddelpunt is \((\frac{5}{7},0,\frac{5}{14})\).

Traagheidsmomenten

Als \(\rho(x,y,z)\geq0\) een massadichtheidsfunctie is gedefinieerd op een lichaam \(E\) in \(\mathbb{R}^3\), dan zijn de integralen

\[I_x=\iiint\limits_E(y^2+z^2)\rho(x,y,z)\,dV,\quad I_y=\iiint\limits_E(x^2+z^2)\rho(x,y,z)\,dV\quad\textrm{en}\quad I_z=\iiint\limits_E(x^2+y^2)\rho(x,y,z)\,dV\]

de traagheidsmomenten van het lichaam \(E\) ten opzichte van de \(x\)-as, de \(y\)-as en de \(z\)-as respectievelijk.

---

Laatst gewijzigd op 4 oktober 2021