Lineaire Algebra – Determinanten – Eigenschappen

Definitie: Een matrix \(A=(a_{ij})\) met \(a_{ij}=0\) voor alle \(i > j\) heet een bovendriehoeksmatrix. Een matrix \(A=(a_{ij})\) met \(a_{ij}=0\) voor alle \(j > i\) heet een benedendriehoeksmatrix

Opmerking: Een driehoeksmatrix hoeft niet vierkant te zijn.

Stelling: Als \(A\) een vierkante (boven- of beneden)driehoeksmatrix is, dan is \(\det(A)\) het product van de elementen op de hoofddiagonaal \(A\).

We kunnen rijoperaties toepassen om een determinant te berekenen:

Stelling: Als \(A\) een vierkante matrix is, dan geldt: als \(B\) de matrix is die uit \(A\) ontstaat door

1. een veelvoud van een rij van \(A\) op te tellen bij een andere rij, dan is: \(\det(B)=\det(A)\);


2. twee rijen van \(A\) van plaats te verwisselen, dan is: \(\det(B)=-\det(A)\);


3. één rij van \(A\) te vermenigvuldigen met een getal \(k\), dan is: \(\det(B)=k\cdot\det(A)\).

Stelling: Als \(A\) een vierkante matrix is, dan geldt: \(\det(A^T)=\det(A)\).

Hieruit volgt dat de rijoperaties in de vorige stelling ook toegepast kunnen worden op de kolommen van de matrix om de determinant te berekenen.

Voorbeelden:

1)

\[\begin{vmatrix}101&102&103\\201&203&205\\302&305&309\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}101&102&103\\-1&-1&-1\\-1&-1&0\end{vmatrix} =-\begin{vmatrix}-1&-1&0\\-1&-1&-1\\101&102&103\end{vmatrix}=-\begin{vmatrix}-1&-1&0\\0&0&-1\\0&1&103\end{vmatrix} =\begin{vmatrix}-1&-1&0\\0&1&103\\0&0&-1\end{vmatrix}=(-1)\cdot1\cdot(-1)=1.\]

2)

\[\begin{vmatrix}101&102&103\\201&203&205\\302&305&309\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}101&1&2\\201&-1&4\\302&3&7\end{vmatrix} =\begin{vmatrix}101&1&0\\201&2&0\\302&3&1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}101&1\\201&2\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}0&1\\-1&2\end{vmatrix}=0-(-1)=1.\]

Stelling: Als \(A\) en \(B\) twee \(n\times n\) matrices zijn, dan geldt: \(\det(AB)=\det(A)\cdot\det(B)\).

Voorbeeld: Beschouw \(A=\begin{pmatrix}1&-2\\3&4\end{pmatrix}\) en \(B=\begin{pmatrix}-1&1\\2&1\end{pmatrix}\), dan geldt: \(\det(A)=4+6=10\) en \(\det(B)=-1-2=-3\). Verder geldt:

\[AB=\begin{pmatrix}1&-2\\3&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1&1\\2&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-5&-1\\5&7\end{pmatrix} \quad\Longrightarrow\quad\det(AB)=-35+5=-30\]

en

\[BA=\begin{pmatrix}-1&1\\2&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&-2\\3&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&6\\5&0\end{pmatrix} \quad\Longrightarrow\quad\det(BA)=0-30=-30.\]

Hoewel de matrices niet commuteren (\(BA\neq AB\)), zien we dat \(\det(AB)=\det(A)\cdot\det(B)=\det(B)\cdot\det(A)=\det(BA)\).

Gevolg: Als \(A\) een inverteerbare matrix is, dan geldt: \(\det(A^{-1})=\displaystyle\frac{1}{\det(A)}\).

Bewijs: Omdat \(A\) inverteerbaar is, geldt: \(\det(A)\neq0\) en \(AA^{-1}=I\). Hieruit volgt dat \(1=\det(I)=\det(AA^{-1}) =\det(A)\cdot\det(A^{-1})\) en dus \(\det(A^{-1})=\displaystyle\frac{1}{\det(A)}\).

Gevolg: Als \(A\) een \(n\times n\) matrix is, dan geldt: \(\det(\lambda A)=\lambda^n\det(A)\) voor elke \(\lambda\in\mathbb{R}\).

Bewijs: Omdat \(\lambda A=(\lambda I)A\) concluderen dat \(\det(\lambda A)=\det(\lambda I)\cdot\det(A)=\lambda^n\det(A)\).

---

Laatst gewijzigd op 22 maart 2021