Lineaire Algebra – Determinanten – Andere toepassingen

De regel van Cramer

Definitie: Als \(A\) een \(n\times n\) matrix is en \(\mathbf{b}\in\mathbb{R}^n\), dan is \(A_i(\mathbf{b})\) de matrix die uit \(A\) wordt verkregen door de \(i^{e}\) kolom te vervangen door \(\mathbf{b}\).

Stelling: Laat \(A\) een inverteerbare \(n\times n\) matrix zijn. Dan wordt voor iedere \(\mathbf{b}\in\mathbb{R}^n\) de unieke oplossing \(\mathbf{x}=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{pmatrix}\) van \(A\mathbf{x}=\mathbf{b}\) gegeven door:

\[x_i=\frac{\det(A_i(\mathbf{b}))}{\det(A)},\quad i=1,2,\ldots,n.\]

Bewijs: Laat \(A=\Bigg(\mathbf{a}_1 \ldots \mathbf{a}_n\Bigg)\) en \(I=\Bigg(\mathbf{e}_1 \ldots \mathbf{e}_n\Bigg)\), dan volgt met behulp van \(A\mathbf{x}=\mathbf{b}\):

\[A\,I_i(\mathbf{x})=A\Bigg(\mathbf{e}_1 \ldots \mathbf{x} \ldots \mathbf{e}_n\Bigg)=\Bigg(A\mathbf{e}_1 \ldots A\mathbf{x} \ldots A\mathbf{e}_n\Bigg) =\Bigg(\mathbf{a}_1 \ldots \mathbf{b} \ldots \mathbf{a}_n\Bigg)=A_i(\mathbf{b}).\]

Omdat \(\det(I_i(\mathbf{x}))=x_i\) volgt hieruit dat \(\det(A)x_i=\det(A)\det(I_i(\mathbf{x}))=\det(A_i(\mathbf{b}))\) voor \(i=1,2,\ldots,n\). Aangezien \(A\) inverteerbaar is, volgt dat \(\det(A)\neq0\), waarmee het resultaat is aangetoond.

Voorbeelden:

Beschouw \(A\mathbf{x}=\mathbf{b}\) met \(A=\begin{pmatrix}3&1\\4&2\end{pmatrix}\) en \(\mathbf{b}=\begin{pmatrix}5\\6\end{pmatrix}\). Merk op dat \(\det(A)=\begin{vmatrix}3&1\\4&2\end{vmatrix}=6-4=2\neq0\). Dan volgt:

\[x_1=\frac{\det(A_1(\mathbf{b}))}{\det(A)}=\frac{\begin{vmatrix}5&1\\6&2\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}3&1\\4&2\end{vmatrix}}=\frac{10-6}{6-4}=2\quad\text{en}\quad x_2=\frac{\det(A_2(\mathbf{b}))}{\det(A)}=\frac{\begin{vmatrix}3&5\\4&6\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}3&1\\4&2\end{vmatrix}}=\frac{18-20}{6-4}=-1.\]

Beschouw \(A\mathbf{x}=\mathbf{b}\) met \(A=\begin{pmatrix}1&-2\\-3&4\end{pmatrix}\) en \(\mathbf{b}=\begin{pmatrix}-7\\17\end{pmatrix}\). Merk op dat \(\det(A)=\begin{vmatrix}1&-2\\-3&4\end{vmatrix}=4-6=-2\neq0\). Dan volgt:

\[x_1=\frac{\det(A_1(\mathbf{b}))}{\det(A)}=\frac{\begin{vmatrix}-7&-2\\17&4\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&-2\\-3&4\end{vmatrix}}=\frac{-28+34}{4-6}=-3\quad\text{en}\quad x_2=\frac{\det(A_2(\mathbf{b}))}{\det(A)}=\frac{\begin{vmatrix}1&-7\\-3&17\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&-2\\-3&4\end{vmatrix}}=\frac{17-21}{4-6}=2.\]

Een formule voor de inverse van een matrix

Definitie: Laat \(A=(a_{ij})\) een \(m\times n\) matrix zijn, dan heet de \(m\times n\) matrix \(A_{\text{cof}}=(C_{ij})\), waarvan de elementen de cofactoren van \(A\) zijn, de cofactormatrix van \(A\).

Stelling: Laat \(A\) een inverteerbare matrix zijn. Dan geldt: \(A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}A_{\text{cof}}^T\) met \(A_{\text{cof}}^T\) de getransponeerde van de cofactormatrix van \(A\).

Bewijs: Als \(A\) inverteerbaar is, dan is de \(j^{e}\) kolom van \(A^{-1}\) de vector \(\mathbf{x}\) waarvoor geldt dat \(A\mathbf{x}=\mathbf{e}_j\) met \(\mathbf{e}_j\) de \(j^{e}\) kolom van de eenheidsmatrix \(I\). Laat \(A^{-1}=C=(c_{ij})\), dan volgt met behulp van de regel van Cramer dat:

\[c_{ij}=x_i=\frac{\det(A_i(\mathbf{e}_j))}{\det(A)}.\]

Aangezien \(A_{ji}\) de ondermatrix van \(A\) is, die uit \(A\) wordt verkregen door de \(j^{e}\) rij en de \(i^{e}\) kolom te schrappen, volgt met behulp van (cofactor)ontwikkeling naar de \(i^{e}\) kolom van \(A_i(\mathbf{e}_j)\) dat

\[\det(A_i(\mathbf{e}_j))=(-1)^{j+i}A_{ji}=C_{ji}.\]

Dit bewijst de formule.

In het speciale geval van \(A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\) geldt dat \(A_{\text{cof}}=\begin{pmatrix}d&-c\\-b&a\end{pmatrix}\). Dus: als \(\det(A)=ad-bc\neq0\), dan volgt dat

\[A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}A_{\text{cof}}^T=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}.\]

Voorbeeld: Beschouw \(A=\begin{pmatrix}5&-1&2\\3&-2&-1\\-2&1&0\end{pmatrix}\), dan is

\[\det(A)=\begin{vmatrix}5&-1&2\\3&-2&-1\\-2&1&0\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}11&-5&0\\3&-2&-1\\-2&1&0\end{vmatrix} =\begin{vmatrix}11&-5\\-2&1\end{vmatrix}=11-10=1\neq0.\]

Verder volgt: \(C_{11}=\begin{vmatrix}-2&-1\\1&0\end{vmatrix}=1\), \(C_{12}=-\begin{vmatrix}3&-1\\-2&0\end{vmatrix}=2\), \(C_{13}=\begin{vmatrix}3&-2\\-2&1\end{vmatrix}=-1\), \(C_{21}=-\begin{vmatrix}-1&2\\1&0\end{vmatrix}=2\), \(C_{22}=\begin{vmatrix}5&2\\-2&0\end{vmatrix}=4\), \(C_{23}=-\begin{vmatrix}5&-1\\-2&1\end{vmatrix}=-3\), \(C_{31}=\begin{vmatrix}-1&2\\-2&-1\end{vmatrix}=5\), \(C_{32}=-\begin{vmatrix}5&2\\3&-1\end{vmatrix}=11\), \(C_{33}=\begin{vmatrix}5&-1\\3&-2\end{vmatrix}=-7\) en dus: \(A_{\text{cof}}=\begin{pmatrix}1&2&-1\\2&4&-3\\5&11&-7\end{pmatrix}\).

Dus: \(A^{-1}=\displaystyle\frac{1}{\det(A)}A_{\text{cof}}^T=\begin{pmatrix}1&2&5\\2&4&11\\-1&-3&-7\end{pmatrix}\).

Fibonacci

We hebben gezien dat als we de rij van Fibonaccigetallen definiëren door \(F_{n+2}=F_n+F_{n+1}\) voor \(n=0,1,2,\ldots\) met \(F_0=0\) en \(F_1=1\), dan geldt:

\[\begin{pmatrix}F_{n+1}&F_n\\F_n&F_{n-1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}^n,\quad n=1,2,3,\ldots.\]

Door determinanten te nemen volgt de gelijkheid van Cassini: \(F_{n+1}F_{n-1}-F_n^2=(-1)^n\) voor \(n=1,2,3,\ldots\). Dit leidt tot \(F_{n+2}F_n-F_{n+1}^2=(-1)^{n+1}\) of \(F_{n+1}^2-(-1)^n=F_nF_{n+2}\) voor \(n=0,1,2,\ldots\). Dit kan worden gebruikt om aan te tonen dat

\begin{align*} \prod_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{(-1)^n}{F_{n+1}^2}\right)&=\prod_{n=1}^{\infty}\frac{F_{n+1}^2-(-1)^n}{F_{n+1}^2} =\prod_{n=1}^{\infty}\frac{F_nF_{n+2}}{F_{n+1}^2}=\lim\limits_{N\to\infty}\prod_{n=1}^N\frac{F_nF_{n+2}}{F_{n+1}^2}\\[2.5mm] &=\lim\limits_{N\to\infty}\frac{F_1F_3}{F_2F_2}\frac{F_2F_4}{F_3F_3}\cdots\frac{F_NF_{N+2}}{F_{N+1}F_{N+1}} =\lim\limits_{N\to\infty}\frac{F_1}{F_2}\frac{F_{N+2}}{F_{N+1}}=1\cdot\varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}. \end{align*}

Hierbij is \(\displaystyle\lim\limits_{n\to\infty}\frac{F_{n+1}}{F_n}=\varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\) de gulden snede.

---

Laatst gewijzigd op 22 maart 2021