Lineaire Algebra – Determinanten

Definitie: Als \(A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\), dan geldt: \(\det(A)=\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc\).

Definitie: Als \(A=(a_{ij})\) een \(m\times n\) matrix is, dan is \(A_{ij}\) de \((m-1)\times(n-1)\) matrix die uit \(A\) ontstaat door de \(i^{e}\) rij en de \(j^{e}\) kolom te schrappen. Zo'n matrix die uit \(A\) wordt verkregen door (\(0\) of meer) rijen en (\(0\) of meer) kolommen te schrappen heet een ondermatrix van \(A\).

Definitie: Als \(A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}\), dan geldt:

\[\det(A)=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix} =a_{11}\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}-a_{12}\begin{vmatrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix} +a_{13}\begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}=a_{11}\det(A_{11})-a_{12}\det(A_{12})+a_{13}\det(A_{13}).\]

Definitie: Als \(A=(a_{ij})\) een \(n\times n\) matrix is met \(n\geq2\), dan geldt:

\[\det(A)=|A|=a_{11}\det(A_{11})-a_{12}\det(A_{12})+\ldots+(-1)^{1+n}a_{1n}\det(A_{1n})=\sum_{j=1}^n(-1)^{1+j}a_{1j}\det(A_{1j})\]

heet de determinant van \(A\).

Definitie: Als \(A=(a_{ij})\) een \(n\times n\) matrix is met \(n\geq2\), dan geldt:

\[C_{ij}=(-1)^{i+j}\det(A_{ij})\]

heet een cofactor van \(A\).

Stelling: Als \(A=(a_{ij})\) een \(n\times n\) matrix is met \(n\geq2\), dan geldt:

\[\det(A)=|A|=a_{i1}C_{i1}+a_{i2}C_{i2}+\ldots+a_{in}C_{in}=a_{1j}C_{1j}+a_{2j}C_{2j}+\ldots+a_{nj}C_{nj}\]

voor elke \(i\in\{1,2,\ldots,n\}\) (de (cofactor)ontwikkeling naar de \(i^{e}\) rij) en voor elke \(j\in\{1,2,\ldots,n\}\) (de (cofactor)ontwikkeling naar de \(j^{e}\) kolom).

Stelling: Als \(A\) een vierkante matrix is, dan geldt: \(A\) is inverteerbaar \(\;\Longleftrightarrow\;\) \(\det(A)\neq0\).

---

Laatst gewijzigd op 1 maart 2021