OnderwijsLineaire Algebra – Determinanten – Meetkundige toepassingen
Stelling: Als \(A\) een \(2\times2\) matrix is, dan is \(|\det(A)|\) de oppervlakte van het parallellogram opgespannen door de kolommen van \(A\).
Bewijs: Zie Lay §3.3.
Stelling: Als \(A\) een \(3\times3\) matrix is, dan is \(|\det(A)|\) de inhoud of het volume van het parallellepipedum opgespannen door de kolommen van \(A\).
Bewijs: Zie Lay §3.3.
Voorbeelden:
Beschouw de punten \(P=(1,-2)\), \(Q=(2,5)\) en \(R=(-1,2)\). Wat is dan de oppervlakte van de driehoek \(PQR\)?
Verschuif de driehoek zodanig dat het punt \(P\) in de oorsprong terechtkomt. Dan geldt dat de oppervlakte van de driehoek \(PQR\) de helft is van de oppervlakte van het parallellogram opgespannen door de vectoren
\[\vec{PQ}=\mathbf{q}-\mathbf{p}=\begin{pmatrix}2\\5\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\7\end{pmatrix} \quad\text{en}\quad\vec{PR}=\mathbf{r}-\mathbf{p}=\begin{pmatrix}-1\\2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\4\end{pmatrix}.\]Dus:
\[\text{opp}(PQR)=\frac{1}{2}\cdot\left|\det\begin{pmatrix}1&-2\\7&4\end{pmatrix}\right|=\frac{1}{2}\cdot|4+14|=9.\]Beschouw de punten \(A=(-1,1)\), \(B=(3,-1)\), \(C=(4,3)\), \(D=(2,5)\) en \(E=(0,4)\). Wat is de oppervlakte van de vijfhoek \(ABCDE\)?
Merk op dat de oppervlakte van de vijfhoek \(ABCDE\) gelijk is aan de som van de oppervlaktes van de driehoeken \(ABC\), \(ACD\) en \(ADE\). Om die te berekenen verschuiven we de vijfhoek \(ABCDE\) zodanig dat het hoekpunt \(A\) in de oorsprong terechtkomt. Voor de oppervlakte van de driehoeken gebruiken we de vectoren
\[\mathbf{b}-\mathbf{a}=\begin{pmatrix}3\\-1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\-2\end{pmatrix}, \quad\mathbf{c}-\mathbf{a}=\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\2\end{pmatrix},\] \[\mathbf{d}-\mathbf{a}=\begin{pmatrix}2\\5\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix} \quad\text{en}\quad\mathbf{e}-\mathbf{a}=\begin{pmatrix}0\\4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}.\]We vinden dus:
\[\text{opp}(ABCDE)=\frac{1}{2}\cdot\left(\left|\det\begin{pmatrix}4&5\\-2&2\end{pmatrix}\right|+\left|\det\begin{pmatrix}5&3\\2&5\end{pmatrix}\right| +\left|\det\begin{pmatrix}3&1\\4&3\end{pmatrix}\right|\right)=\frac{1}{2}\cdot(18+14+5)=\frac{37}{2}.\]De inhoud van parallellepipedum opgespannen door de vectoren \(\mathbf{a}=\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}\), \(\mathbf{b}=\begin{pmatrix}-1\\3\\1\end{pmatrix}\) en \(\mathbf{c}=\begin{pmatrix}2\\0\\3\end{pmatrix}\) is gelijk aan \(\left|\det\begin{pmatrix}1&-1&2\\-1&3&0\\1&1&3\end{pmatrix}\right|\).
We vinden:
\[\begin{vmatrix}1&-1&2\\-1&3&0\\1&1&3\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1&-1&2\\0&2&2\\0&2&1\end{vmatrix} =\begin{vmatrix}2&2\\2&1\end{vmatrix}=2-4=-2.\]De inhoud van het parallellepipedum is dus gelijk aan \(2\).
Laatst gewijzigd op 1 maart 2021
