Lineaire Algebra – Matrices – De matrixvermenigvuldiging

De matrix vermeniguldiging heeft de volgende eigenschappen:

Stelling: Laat \(A\) een \(m\times n\) matrix zijn en laten \(B\) en \(C\) matrices zijn met afmetingen waarvoor onderstaande sommen en producten zijn gedefinieerd, dan geldt:

1. \(A(BC)=(AB)C\)


2. \(A(B+C)=AB+AC\)


3. \((B+C)A=BA+CA\)


4. \(r(AB)=(rA)B=A(rB)\) voor elke \(r\in\mathbb{R}\)


5. \(I_mA=A=AI_n\)

In het algemeen geldt:

1. \(AB\neq BA\)


2. \(AB=AC\quad\mathrel{\rlap{\hskip .5em/}}\Longrightarrow\quad B=C\)


3. \(AB=0\quad\mathrel{\rlap{\hskip .5em/}}\Longrightarrow\quad A=0\quad\text{of}\quad C=0\)

Voorbeelden:

Als \(A=\begin{pmatrix}1&-1\\2&3\end{pmatrix}\) en \(B=\begin{pmatrix}1&0&-1\\-2&1&3\end{pmatrix}\), dan is

\[AB=\begin{pmatrix}1&-1\\2&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0&-1\\-2&1&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&-1&-4\\-4&3&7\end{pmatrix} \quad\text{en}\;BA\;\text{bestaat niet}.\]

Als \(A=\begin{pmatrix}1&-1&0\\-1&2&3\end{pmatrix}\) en \(B=\begin{pmatrix}1&0&-1\\-2&1&3\end{pmatrix}\), dan bestaan zowel \(AB\) als \(BA\) niet.

Als \(A=\begin{pmatrix}1&-1&0\\-1&2&3\end{pmatrix}\) en \(B=\begin{pmatrix}1&-2\\0&1\\-1&3\end{pmatrix}\), dan is

\[AB=\begin{pmatrix}1&-1\\2&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&-2\\0&1\\-1&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&-3\\-4&13\end{pmatrix} \quad\text{en}\quad BA=\begin{pmatrix}1&-2\\0&1\\-1&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&-1&0\\-1&2&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&-5&-6\\-1&2&3\\-4&7&9\end{pmatrix}.\]

Als \(A=\begin{pmatrix}1&-1\\2&3\end{pmatrix}\) en \(B=\begin{pmatrix}1&-2\\-1&3\end{pmatrix}\), dan is

\[AB=\begin{pmatrix}1&-1\\2&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&-2\\-1&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&-5\\-1&5\end{pmatrix} \quad\text{en}\quad BA=\begin{pmatrix}1&-2\\-1&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&-1\\2&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3&-7\\5&10\end{pmatrix}.\]

Als \(A=\begin{pmatrix}1&-1\\2&3\end{pmatrix}\) en \(B=\begin{pmatrix}-1&-1\\2&1\end{pmatrix}\), dan is

\[AB=\begin{pmatrix}1&-1\\2&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1&-1\\2&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3&-2\\4&1\end{pmatrix} \quad\text{en}\quad BA=\begin{pmatrix}-1&-1\\2&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&-1\\2&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3&-2\\4&1\end{pmatrix}.\]

In sommige gevallen geldt dus wel dat \(AB=BA\) (de commutatieve eigenschap). In dat geval zeggen we dat de matrices \(A\) en \(B\) commuteren.

Als \(A=\begin{pmatrix}2&1\\2&1\end{pmatrix}\) en \(B=\begin{pmatrix}1&-1\\-3&3\end{pmatrix}\), dan is

\[AB=\begin{pmatrix}2&1\\2&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&-1\\-3&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1&1\\-1&1\end{pmatrix} \quad\text{en}\quad BA=\begin{pmatrix}1&-1\\-3&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&1\\2&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}.\]

Dus: \(BA=0\), maar \(B\neq0\) en \(A\neq0\).

Als \(A=\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix}\), \(B=\begin{pmatrix}1&-1\\1&2\end{pmatrix}\) en \(C=\begin{pmatrix}3&1\\1&0\end{pmatrix}\), dan is

\[AB=\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&-1\\1&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&3\\6&6\end{pmatrix} \quad\text{en}\quad AC=\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3&1\\1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&3\\6&6\end{pmatrix}\]

Dus: \(AB=AC\), maar \(B\neq C\).

Definitie: Als \(A\) een vierkante matrix is, dan is \(A^k=\underbrace{AA\cdots A}_{k\;\text{keer}}\) voor \(k=1,2,3,\ldots\) en \(A^0=I\).

Stelling: Als \(A\) een vierkante matrix is, dan geldt: \(A^k=AA^{k=1}\) voor \(k=1,2,3,\ldots\).

Uit de rekenregels volgt nu dat \(A^3=AA^2=A^2A\) en dat betekent dat \(A\) en \(A^2\) commuteren.

Hoewel dus meestal geldt dat \(AB\neq BA\) is het hiermee dus wel mogelijk om vrij eenvoudig twee commuterende matrices te vinden.

Voorbeeld: Als \(A=\begin{pmatrix}1&-1\\2&3\end{pmatrix}\), dan is \(A^2=\begin{pmatrix}1&-1\\2&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&-1\\2&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1&-4\\8&7\end{pmatrix}\).

Dan geldt:

\[\begin{pmatrix}1&-1\\2&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1&-4\\8&7\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-9&-11\\22&13\end{pmatrix} \quad\text{en}\quad\begin{pmatrix}-1&-4\\8&7\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&-1\\2&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-9&-11\\22&13\end{pmatrix}.\]

Als \(A=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}\), dan is \(A^2=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}\). Zo'n matrix wordt nilpotent genoemd, dat wil zeggen dat een zekere macht van de matrix de nulmatrix oplevert.

Een ander voorbeeld is \(A=\begin{pmatrix}0&1&2\\0&0&3\\0&0&0\end{pmatrix}\). Merk op dat \[A^2=\begin{pmatrix}0&1&2\\0&0&3\\0&0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1&2\\0&0&3\\0&0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0&3\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix} \quad\text{en}\quad A^3=\begin{pmatrix}0&1&2\\0&0&3\\0&0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&0&3\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}.\]

Fibonacci

De rij van Fibonacci \(1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,\ldots\) wordt gedefinieerd door \(F_{n+2}=F_n+F_{n+1}\) voor \(n=1,2,3,\ldots\) met \(F_1=F_2=1\).

Voor het gemak gebruiken we echter \(F_{n+2}=F_n+F_{n+1}\) voor \(n=0,1,2,\ldots\) met \(F_0=0\) en \(F_1=1\). Dan geldt:

\[\begin{pmatrix}F_{n+1}&F_n\\F_n&F_{n-1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}^n,\quad n=1,2,3,\ldots.\]

Bewijs:
Met volledige inducatie: voor \(n=1\) staat er \(\displaystyle\begin{pmatrix}F_2&F_1\\F_1&F_0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}\) en dat klopt. Stel nu dat \(\begin{pmatrix}F_{n+1}&F_n\\F_n&F_{n-1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}^n\) geldt voor zekere waarde van \(n\), dan volgt dat

\[\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}^{n+1}=\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}^n =\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}F_{n+1}&F_n\\F_n&F_{n-1}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}F_{n+1}+F_n&F_n+F_{n-1}\\F_{n+1}&F_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}F_{n+2}&F_{n+1}\\F_{n+1}&F_n\end{pmatrix}.\]

Hieruit volgt dat

\begin{align*} \begin{pmatrix}F_{m+n+1}&F_{m+n}\\F_{m+n}&F_{m+n-1}\end{pmatrix}&=\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}^{m+n} =\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}^m\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}^n=\begin{pmatrix}F_{m+1}&F_m\\F_m&F_{m-1}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}F_{n+1}&F_n\\F_n&F_{n-1}\end{pmatrix}\\[2.5mm] &=\begin{pmatrix}F_{m+1}F_{n+1}+F_mF_n&F_{m+1}F_n+F_mF_{n-1}\\F_mF_{n+1}+F_{m-1}F_n&F_mF_n+F_{m-1}F_{n-1}\end{pmatrix}. \end{align*}

Hieruit volgt dat

\[F_{m+n+1}=F_{m+1}F_{n+1}+F_mF_n\quad\text{en}\quad F_{m+n}=F_{m+1}F_n+F_mF_{n-1}=F_mF_{n+1}+F_{m-1}F_n.\]

Met \(m=n\) volgt dan dat

\[F_{2n+1}=F_{n+1}^2+F_n^2=(F_{n+1}+F_n)^2-2F_{n+1}F_n=F_{n+2}^2-2F_{n+1}F_n\]

en

\[F_{2n}=F_n\left(F_{n+1}+F_{n-1}\right)=F_n\left(F_n+2F_{n-1}\right).\]

---

Laatst gewijzigd op 22 maart 2021