OnderwijsLineaire Algebra – Matrices – De getransponeerde van een matrix
Definitie: Als \(A=(a_{ij})\) een \(m\times n\) matrix is, dan is \(A^T\) de \(n\times m\) matrix gegeven door \(A^T=(a_{ji})\).
Stelling: Als \(A\) een \(m\times n\) matrix is en \(B\) een \(n\times p\) matrix, dan geldt: \((AB)^T=B^TA^T\).
Deze belangrijke eigenschap kan alsvolgt worden gebruikt.
Voorbeeld: Laat \(A=\begin{pmatrix}1&2\\-1&3\end{pmatrix}\) en \(B=\begin{pmatrix}3&-4\\2&-1\end{pmatrix}\). Dan kan het vinden van een matrix \(X\) zodat \(AX=B\) eenvoudig worden opgelost door middel van vegen (rijreductie):
\[\left(\;\left.\begin{matrix}1&2\\-1&3\end{matrix}\;\right|\;\begin{matrix}3&-4\\2&-1\end{matrix}\;\right)\sim \left(\;\left.\begin{matrix}1&2\\0&5\end{matrix}\;\right|\;\begin{matrix}3&-4\\5&-5\end{matrix}\;\right)\sim \left(\;\left.\begin{matrix}1&2\\0&1\end{matrix}\;\right|\;\begin{matrix}3&-4\\1&-1\end{matrix}\;\right)\sim \left(\;\left.\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\;\right|\;\begin{matrix}1&-2\\1&-1\end{matrix}\;\right) \quad\Longrightarrow\quad X=\begin{pmatrix}1&-2\\1&-1\end{pmatrix}.\]Echter, hoe kan men een matrix \(Y\) vinden zodat \(YA=B\)? Uiteraard kan men \(Y=\begin{pmatrix}y_1&y_2\\y_3&y_4\end{pmatrix}\) stellen en vervolgens een stelsel van vier vergelijkingen voor de vier onbekenden afleiden. Maar in plaats daarvan is het veel eleganter om gebruik te maken van de getransponeerde:
\[YA=B\quad\Longleftrightarrow\quad(YA)^T=B^T\quad\Longleftrightarrow\quad A^TY^T=B^T.\]Dit kan op dezelfde manier als hierboven worden opgelost door middel van vegen (rijreductie):
\[\left(\;\left.\begin{matrix}1&-1\\2&3\end{matrix}\;\right|\;\begin{matrix}3&2\\-4&-1\end{matrix}\;\right)\sim \left(\;\left.\begin{matrix}1&-1\\0&5\end{matrix}\;\right|\;\begin{matrix}3&2\\-10&-5\end{matrix}\;\right)\sim \left(\;\left.\begin{matrix}1&-1\\0&1\end{matrix}\;\right|\;\begin{matrix}3&2\\-2&-1\end{matrix}\;\right)\sim \left(\;\left.\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\;\right|\;\begin{matrix}1&1\\-2&-1\end{matrix}\;\right) \quad\Longrightarrow\quad Y^T=\begin{pmatrix}1&1\\-2&-1\end{pmatrix}.\]Hieruit volgt dat \(Y=\begin{pmatrix}1&-2\\1&-1\end{pmatrix}\).
Laatst gewijzigd op 1 maart 2021
