OnderwijsLineaire Algebra – Matrices – Blokmatrices
Als een matrix niet te klein is, dan kan deze worden verdeeld in meerdere ondermatrices waardoor een zogenaamde blokmatrix ontstaat. Als die ondermatrices de juiste afmetingen hebben dan kan met deze blokmatrices op dezelfde wijze worden gerekend als met gewone matrices.
Voorbeeld: Als \(A_{11}=\begin{pmatrix}1&0&-1\\0&1&1\end{pmatrix}\), \(A_{12}=\begin{pmatrix}2&-1\\1&-1\end{pmatrix}\), \(A_{21}=\begin{pmatrix}-3&1&0\end{pmatrix}\) en \(A_{22}=\begin{pmatrix}2&1\end{pmatrix}\), dan is
\[A=\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}\\A_{21}&A_{22}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&-1&2&-1\\0&1&1&1&-1\\-3&1&0&2&1\end{pmatrix}.\]Verder, als \(B_{11}=\begin{pmatrix}0&1\\-1&2\\3&1\end{pmatrix}\), \(B_{12}=\begin{pmatrix}-2\\3\\1\end{pmatrix}\), \(B_{21}=\begin{pmatrix}-1&1\\2&3\end{pmatrix}\) en \(B_{22}=\begin{pmatrix}-1\\-1\end{pmatrix}\), dan is
\[B=\begin{pmatrix}B_{11}&B_{12}\\B_{21}&B_{22}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&1&-2\\-1&2&3\\3&1&1\\-1&1&-1\\2&3&-1\end{pmatrix}.\]Dan geldt dat \[A_{11}B_{11}+A_{12}B_{21}=\begin{pmatrix}1&0&-1\\0&1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1\\-1&2\\3&1\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}2&-1\\1&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1&1\\2&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3&0\\2&3\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}-4&-1\\-3&-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-7&-1\\-1&1\end{pmatrix},\] \[A_{11}B_{12}+A_{12}B_{22}=\begin{pmatrix}1&0&-1\\0&1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-2\\3\\1\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}2&-1\\1&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3\\4\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}-1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4\\4\end{pmatrix},\] \[A_{21}B_{11}+A_{22}B_{21}=\begin{pmatrix}-3&1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1\\-1&2\\3&1\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}2&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1&1\\2&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1&-1\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}0&5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1&4\end{pmatrix}\]
en
\[A_{21}B_{12}+A_{22}B_{22}=\begin{pmatrix}-3&1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-2\\3\\1\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}2&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}9\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}6\end{pmatrix}.\]Merk op dat
\[AB=\Bigg(\begin{matrix}A_{11}B_{11}+A_{12}B_{21}&A_{11}B_{12}+A_{12}B_{22}\\[2.5mm]A_{21}B_{11}+A_{22}B_{21}&A_{21}B_{12}+A_{22}B_{22}\end{matrix}\Bigg) =\begin{pmatrix}-7&-1&-4\\-1&1&4\\-1&4&6\end{pmatrix}.\]Voorbeeld: Als \(A=\begin{pmatrix}1&1\\1&2\end{pmatrix}\) en \(B=\begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix}\), dan volgt dat \(A^{-1}=\begin{pmatrix}2&-1\\-1&1\end{pmatrix}\) en \(B^{-1}=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}\). We kunnen dit gebruiken om de inverse van de \(4\times 4\) matrix
\[M=\begin{pmatrix}1&1&0&0\\1&2&0&0\\1&0&1&-1\\0&1&-1&2\end{pmatrix}=\Bigg(\begin{matrix}A&0\\[2.5mm]I&B\end{matrix}\Bigg)\]te berekenen. Stel dat \(M^{-1}=\Bigg(\begin{matrix}C&D\\[2.5mm]E&F\end{matrix}\Bigg)\), dan volgt:
\[\Bigg(\begin{matrix}I&0\\[2.5mm]0&I\end{matrix}\Bigg)=I=MM^{-1}=\Bigg(\begin{matrix}A&0\\[2.5mm]I&B\end{matrix}\Bigg) \Bigg(\begin{matrix}C&D\\[2.5mm]E&F\end{matrix}\Bigg)=\Bigg(\begin{matrix}AC&AD\\[2.5mm]C+BE&D+BF\end{matrix}\Bigg).\]Hieruit volgt dat \(AC=I\), \(AD=0\), \(C+BE=0\) en \(D+BF=I\). Omdat \(A\) inverteerbaar is, volgt hieruit dat \(C=A^{-1}\) en \(D=A^{-1}0=0\). En omdat \(B\) ook inverteerbaar is, volgt dan uit \(BF=I\) dat \(F=B^{-1}\) en uit \(BE=-C\) dat \(E=-B^{-1}C=-B^{-1}A^{-1}\). Dus:
\[M^{-1}=\Bigg(\begin{matrix}A^{-1}&0\\[2.5mm]-B^{-1}A^{-1}&B^{-1}\end{matrix}\Bigg) =\begin{pmatrix}2&-1&0&0\\-1&1&0&0\\-3&1&2&1\\-1&0&1&1\end{pmatrix}.\]Stelling: Als \(A\) een \(m\times n\) matrix is en \(B\) is een \(n\times p\) matrix , dan geldt:
\[AB=\Bigg(\text{kol}_1(A)\;\text{kol}_2(A)\;\ldots\;\text{kol}_n(A)\Bigg)\begin{pmatrix}\text{rij}_1(B)\\\text{rij}_2(B)\\\vdots\\\text{rij}_n(B)\end{pmatrix} =\text{kol}_1(A)\text{rij}_1(B)+\text{kol}_2(A)\text{rij}_2(B)+\cdots+\text{kol}_n(A)\text{rij}_n(B).\]Laatst gewijzigd op 29 maart 2021
