OnderwijsLineaire Algebra – Matrices – De inverse van een matrix
Definitie: Een vierkante matrix \(A\) heet inverteerbaar als er een matrix \(C\) bestaat zodat \(AC=I=CA\). Zo'n matrix \(C\) heet dan een inverse van de matrix \(A\).
Stelling: Als een vierkante matrix \(A\) inverteerbaar is, dan is een inverse van \(A\) uniek. Notatie: \(A^{-1}\).
Bewijs: Stel dat \(A\) inverteerbaar is en dat zowel \(B\) als \(C\) een inverse van \(A\) zijn. Dan geldt: \(AB=I=BA\) én \(AC=I=CA\). Maar dan volgt dat
\[B=IB=(CA)B=C(AB)=CI=C.\]Stelling: Laat \(A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\). Als \(ad-bc=0\), dan is \(A\) niet inverteerbaar (ook wel: singulier). Als \(ad-bc\neq0\), dan is \(A\) inverteerbaar en
\[A=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}.\]Het getal \(ad-bc\) heet de determinant van \(A\):
Definitie: Als \(A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\), dan geldt:
\[\text{det}(A)=\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc.\]Voor een niet-vierkante matrix \(A\) kan men soms ook een (niet-vierkante) matrix \(B\) vinden zodat \(AB=I\) óf \(BA=I\).
Voorbeeld: Laat \(A=\begin{pmatrix}3&-1&1\\-1&1&2\end{pmatrix}\) en \(B=\begin{pmatrix}-1&-1\\-3&-2\\1&1\end{pmatrix}\), dan geldt:
\[AB=\begin{pmatrix}3&-1&1\\-1&1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1&-1\\-3&-2\\1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} \quad\text{en}\quad BA=\begin{pmatrix}-1&-1\\-3&-2\\1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3&-1&1\\-1&1&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2&0&-3\\-7&1&-7\\2&0&3\end{pmatrix}.\]De matrix \(B\) heet dan wel een rechterinverse van \(A\), en omgekeerd, de matrix \(A\) heet dan wel een linkerinverse van \(B\).
Deze zijn dan echter niet uniek, want er geldt (bijvoorbeeld) ook
\[\begin{pmatrix}3&-1&1\\-1&1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&-4\\4&-9\\-1&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} \quad\text{en}\quad \begin{pmatrix}1&-1&-1\\-2&1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1&-1\\-3&-2\\1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}.\]Algoritme: Pas rijreductie toe op de aangevulde matrix \((A\,|\,I)\). Als \(A\) rijequivalent is met \(I\), dan volgt: \((I\,|\,A^{-1})\). Anders is \(A\) niet inverteerbaar.
Lay §2.2, Opgave 33: Merk op dat \(\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}1&0\\-1&1\end{pmatrix}\) en
\[\left(\left.\begin{matrix}1&0&0\\1&1&0\\1&1&1\end{matrix}\,\right|\,\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{matrix}\right)\sim \left(\left.\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&1&1\end{matrix}\,\right|\,\begin{matrix}1&0&0\\-1&1&0\\-1&0&1\end{matrix}\right)\sim \left(\left.\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{matrix}\,\right|\,\begin{matrix}1&0&0\\-1&1&0\\0&-1&1\end{matrix}\right).\]Hierui volgt het vermoeden dat als \(A=(a_{ij})\) een \(n\times n\) matrix is met \(a_{ij}=1\) als \(i\geq j\) en \(a_{ij}=0\) als \(i < j\), dan is \(A^{-1}=B=(b_{ij})\) de \(n\times n\) matrix met \(b_{ij}=1\) als \(i=j\), \(b_{ij}=-1\) als \(i=j+1\) en \(b_{ij}=0\) anders. We kunnen dit als volgt bewijzen:
\[AB=\Bigg(\mathbf{a}_1\;\mathbf{a}_2\;\ldots\;\mathbf{a}_n\Bigg)B=\Bigg(\mathbf{a}_1-\mathbf{a}_2\;\mathbf{a}_2-\mathbf{a}_3\;\ldots\;\mathbf{a}_{n-1}-\mathbf{a}_n\;\mathbf{a}_n\Bigg)=I\]en
\[BA=\Bigg(\mathbf{b}_1\;\mathbf{b}_2\;\ldots\;\mathbf{b}_n\Bigg)A=\Bigg(\mathbf{b}_1+\mathbf{b}_2+\cdots+\mathbf{b}_n\;\mathbf{b}_2+\mathbf{b}_3+\cdots+\mathbf{b}_n\;\ldots\;\mathbf{b}_{n-1}+\mathbf{b}_n\;\mathbf{b}_n\Bigg)=I.\]Lay §2.2, Opgave 34: Merk op dat \(\begin{pmatrix}1&0\\1&2\end{pmatrix}^{-1}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}2&0\\-1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{pmatrix}\) en
\[\left(\left.\begin{matrix}1&0&0\\1&2&0\\1&2&3\end{matrix}\,\right|\,\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{matrix}\right)\sim \left(\left.\begin{matrix}1&0&0\\0&2&0\\0&2&3\end{matrix}\,\right|\,\begin{matrix}1&0&0\\-1&1&0\\-1&0&1\end{matrix}\right)\sim \left(\left.\begin{matrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{matrix}\,\right|\,\begin{matrix}1&0&0\\-1&1&0\\0&-1&1\end{matrix}\right) \quad\Longrightarrow\quad\begin{pmatrix}1& 0&0\\1&2&0\\1&2&3\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}1&0&0\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&0\\0&-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\end{pmatrix}.\]Nu vermoeden we dus: als \(A=\begin{pmatrix}1&0&0&\ldots&0&0&0\\1&2&0&\ldots&0&0&0\\1&2&3&\ldots&0&0&0\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\vdots\\ 1&2&3&\ldots&n-2&0&0\\1&2&3&\ldots&n-2&n-1&0\\1&2&3&\ldots&n-2&n-1&n\end{pmatrix}\), dan is \(A^{-1}=\begin{pmatrix}1&0&0&\ldots&0&0&0\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&0&\ldots&0&0&0\\0&-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}&\ldots&0&0&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\vdots\\0&0&0&\ldots&\frac{1}{n-2}&0&0\\0&0&0&\ldots&-\frac{1}{n-1}&\frac{1}{n-1}&0\\0&0&0&\ldots&0&-\frac{1}{n}&\frac{1}{n}\end{pmatrix}\). We kunnen dit als volgt bewijzen:
\[AB=\Bigg(\mathbf{a}_1\;\mathbf{a}_2\;\ldots\;\mathbf{a}_n\Bigg)B=\Bigg(\mathbf{a}_1-\frac{1}{2}\mathbf{a}_2\;\mathbf{a}_2-\frac{1}{3}\mathbf{a}_3\;\ldots\;\frac{1}{n-1}\mathbf{a}_{n-1}-\frac{1}{n}\mathbf{a}_n\;\frac{1}{n}\mathbf{a}_n\Bigg)=I\]en
\[BA=\Bigg(\mathbf{b}_1\;\mathbf{b}_2\;\ldots\;\mathbf{b}_n\Bigg)A=\Bigg(\mathbf{b}_1+\mathbf{b}_2+\cdots+\mathbf{b}_n\;2\mathbf{b}_2+2\mathbf{b}_3+\cdots+2\mathbf{b}_n\;\ldots\;(n-1)\mathbf{b}_{n-1}+(n-1)\mathbf{b}_n\;n\mathbf{b}_n\Bigg)=I.\]Definitie: Een lineaire afbeelding \(T:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n\) heet inverteerbaar als er een afbeelding \(S:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n\) bestaat zodat \(S(T(\mathbf{x}))=\mathbf{x}\) en \(T(S(\mathbf{x}))=\mathbf{x}\) voor alle \(\mathbf{x}\in\mathbb{R}^n\). De (unieke lineaire) afbeelding \(S\) heet de inverse van \(T\). Notatie: \(S=T^{-1}\).
Stelling: Laat \(T:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n\) een lineiare afbeelding zijn met standaardmatrix \(A\). Dan geldt: \(T\) is inverteerbaar dan en slechts dan als \(A\) een inverteerbare matrix is. In dat geval is de lineaire afbeelding \(S:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n\) met \(S(\mathbf{x})=A^{-1}\mathbf{x}\) de unieke inverse (afbeelding) van \(T\).
Laatst gewijzigd op 1 maart 2021
