OnderwijsLineaire Algebra – Matrices – Toepassingen
Het open Leontief input-output model in de economie
Neem aan dat de economie van een land verdeeld kan worden in \(n\) sectoren die goederen en diensten leveren en laat \(\mathbf{x}\) een productievector in \(\mathbb{R}^n\) zijn die de output van iedere sector per jaar weergeeft. Neem tevens aan dat een deel van de economie (de open sector) geen producten of diensten levert, maar deze slechts consumeert of afneemt en laat \(\mathbf{d}\) een einddoelvector zijn die de waarden van de goederen en diensten weergeeft die van de verschillende sectoren worden verlangd door het niet-productieve deel van de economie. Om aan deze vraag te kunnen voldoen moeten de diverse sectoren voldoende producten leveren, waarbij ze zelf weer een extra vraag naar goederen creëren, dat intermediair verbruik wordt genoemd, als input voor hun eigen productie.
Het verband tussen deze verschillende sectoren is erg ingewikkeld. De Russische econoom Wassily Leontief vroeg zich af of er een productieniveau \(\mathbf{x}\) bestaat zodat de productiehoeveelheden precies in evenwicht zijn met de totale vraag naar die productie.
Als \(\mathbf{c}_1,\mathbf{c}_2,\ldots,\mathbf{c}_n\) de zogenaamde eenheidsproductievectoren zijn die per sector aangeven welk deel van de productie naar de verschillende sectoren gaat, dan kan het open Leontief input-output model worden geschreven als \(\mathbf{x}=C\mathbf{x}+\mathbf{d}\), waarbij \(C=\Bigg(\mathbf{c}_1\;\mathbf{c}_2\;\ldots\;\mathbf{c}_n\Bigg)\) de zogenaamde consumptiematrix is. Merk op dat dit geschreven kan worden als \((I-C)\mathbf{x}=\mathbf{d}\).
Stelling: Laat \(C\) de consumptiematrix zijn voor een economie en laat \(\mathbf{d}\) de einddoelvector zijn. Dan geldt: als \(C\) en \(\mathbf{d}\) niet-negatieve elementen hebben en in elke kolom van \(C\) is de som van de elementen kleiner dan \(1\), dan bestaat \((I-C)^{-1}\) en heeft de productievector \(\mathbf{x}=(I-C)^{-1}\mathbf{d}\) niet-negatieve elementen en is dit de unieke oplossing van \(\mathbf{x}=C\mathbf{x}+\mathbf{d}\).
Voorbeeld: Als \(C=\begin{pmatrix}0.5&0.2&0.4\\0.2&0.2&0.1\\0.1&0.2&0.5\end{pmatrix}\) en \(\mathbf{d}=\begin{pmatrix}20\\30\\50\end{pmatrix}\). Dan volgt:
\begin{align*} (I-C)\mathbf{x}=\mathbf{d}:\quad&\left(\left.\begin{matrix}0.5&-0.2&-0.4\\-0.2&0.8&-0.1\\-0.1&-0.2&0.5\end{matrix}\,\right|\,\begin{matrix}20\\30\\50\end{matrix}\right) \sim\left(\left.\begin{matrix}1&2&-5\\-2&8&-1\\5&-2&-4\end{matrix}\,\right|\,\begin{matrix}-500\\300\\200\end{matrix}\right) \sim\left(\left.\begin{matrix}1&2&-5\\0&12&-11\\0&-12&21\end{matrix}\,\right|\,\begin{matrix}-500\\-700\\2700\end{matrix}\right)\\[2.5mm] &\quad\sim\left(\left.\begin{matrix}1&2&-5\\0&12&-11\\0&0&10\end{matrix}\,\right|\,\begin{matrix}-500\\-700\\2000\end{matrix}\right) \sim\left(\left.\begin{matrix}1&2&0\\0&12&0\\0&0&1\end{matrix}\,\right|\,\begin{matrix}500\\1500\\200\end{matrix}\right) \sim\left(\left.\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{matrix}\,\right|\,\begin{matrix}250\\125\\200\end{matrix}\right) \quad\Longrightarrow\quad\mathbf{x}=\begin{pmatrix}250\\125\\200\end{pmatrix}. \end{align*}Laatst gewijzigd op 29 maart 2021
