OnderwijsLineaire Algebra – Matrices – Dimensie en rang
Definitie: Stel dat \(\mathcal{B}=\{\mathbf{b}_1,\ldots,\mathbf{b}_p\}\) een basis is van een deelruimte \(H\). Voor elke vector \(\mathbf{x}\) in \(H\) zijn de coördinaten van \(\mathbf{x}\) ten opzichte van de basis \(\mathcal{B}\) de gewichten \(c_1,\ldots,c_p\) zodat \(\mathbf{x}=c_1\mathbf{b}_1+\cdots+c_p\mathbf{b}_p\) en de vector
\[[\mathbf{x}]_{\mathcal{B}}=\begin{pmatrix}c_1\\\vdots\\c_p\end{pmatrix}\]in \(\mathbb{R}^p\) heet de coördinaatvector van \(\mathbf{x}\) ten opzichte van de basis \(\mathcal{B}\).
Voorbeeld: Beschouw de deelruimte \(H\) van \(\mathbb{R}^3\) opgespannen door \(\mathbf{b}_1=\begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix}\) en \(\mathbf{b}_2=\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}\). Dan is \(\{\mathbf{b}_1,\mathbf{b}_2\}\) een basis van \(H\). Voor de vector \(\mathbf{x}=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}\) geldt dat \(\mathbf{x}\in H\), want:
\[c_1\mathbf{b}_1+c_2\mathbf{b}_2=\mathbf{x}:\quad\left(\left.\begin{matrix}1&2\\-1&-1\\2&3\end{matrix}\,\right|\,\begin{matrix}1\\1\\0\end{matrix}\right) \sim\left(\left.\begin{matrix}1&2\\0&1\\0&-1\end{matrix}\,\right|\,\begin{matrix}1\\2\\-2\end{matrix}\right) \sim\left(\left.\begin{matrix}1&0\\0&1\\0&0\end{matrix}\,\right|\,\begin{matrix}-3\\2\\0\end{matrix}\right) \quad\Longrightarrow\quad\left\{\begin{array}{l}c_1=-3\\[2.5mm]c_2=2\end{array}\right.\quad\Longrightarrow\quad[\mathbf{x}]_{\mathcal{B}}=\begin{pmatrix}-3\\2\end{pmatrix}.\]Verder geldt (bijvoorbeeld) dat: \([\mathbf{y}]_{\mathcal{B}}=\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}\quad\Longrightarrow\quad\mathbf{y} =-\mathbf{b}_1+\mathbf{b}_2=-\begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}\).
Stelling: Als een basis van een deelruimte \(H\) bestaat uit \(p\) vectoren, dan bestaat elke basis van \(H\) uit \(p\) vectoren.
Definitie: De dimensie van een deelruimte \(H\neq\{\mathbf{0}\}\) is het aantal vectoren in een basis van \(H\). De dimensie van de (triviale) deelruimte \(\{\mathbf{0}\}\) is \(0\) omdat deze geen basis heeft.
Definitie: De rang van een matrix \(A\) is de dimensie van de kolomruimte van \(A\).
Stelling: Voor een matrix \(A\) met \(n\) kolommen geldt: \(\dim\left(\text{Col}(A)\right)+\dim\left(\text{Nul}(A)\right)=n\).
Bewijs: Er geldt: \(\dim\left(\text{Col}(A)\right)=\text{rang}(A)\) is gelijk aan het aantal pivotkolommen van \(A\). Verder geldt: \(\dim\left(\text{Nul}(A)\right)\) is gelijk aan het aantal vrije variabelen in \(A\mathbf{x}=\mathbf{0}\) en is dus gelijk aan het aantal niet-pivotkolommen van \(A\). De som is dus gelijk aan het totaal aantal kolommen van \(A\).
Stelling: Als \(H\) een \(p\)-dimensionale deelruimte van \(\mathbb{R}^n\) is, dan geldt dat iedere lineair onafhankelijke verzameling van precies \(p\) vectoren in \(H\) een basis van \(H\) is. Maar ook: iedere verzameling van \(p\) vectoren in \(H\) die \(H\) opspant, is een basis van \(H\).
Laatst gewijzigd op 29 maart 2021
