Lineaire Algebra – Matrices – Deelruimtes

Definitie: Een deelverzameling \(H\) van \(\mathbb{R}^n\) heet een deelruimte van \(\mathbb{R}^n\) als:

1. \(\mathbf{0}\in H\);


2. \(\mathbf{u}+\mathbf{v}\in H\) voor alle \(\mathbf{u},\mathbf{v}\in H\);


3. \(c\mathbf{u}\in H\) voor alle \(\mathbf{u}\in H\) en alle \(c\in\mathbb{R}\).

De eerste eis voorkomt dat de verzameling \(H\) leeg is. Als de verzameling \(H\) niet leeg is, dan zit er dus minimaal één vector in \(H\). Volgens de derde eis kunnen we deze vector met het getal \(0\) vermenigvuldigen en dan volgt dus dat \(\mathbf{0}\in H\). Er geldt ook dat de tegengestelde van de vector in \(H\) zit (neem \(c=-1\) in de derde eis) en dan volgt uit de tweede eis dat de som van deze twee vectoren, en dat is de nulvector, ook in \(H\) zit.

De eerste eis is echter wel handig, want dat sluit meteen alle deelverzamelingen, die de nulvector niet bevatten, uit als deelruimte.

Voorbeeld: Als \(\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\ldots,\mathbf{v}_p\) vectoren in \(\mathbb{R}^n\) zijn, dan is de verzameling van alle lineaire combinaties van \(\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\ldots,\mathbf{v}_p\) een deelruimte van \(\mathbb{R}^n\).

Notatie: \(\text{Span}\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\ldots,\mathbf{v}_p\}\) is de deelruimte opgespannen (of voortgebracht) door \(\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\ldots,\mathbf{v}_p\).

Merk op dat \(\mathbb{R}^n\) zelf een deelruimte is van \(\mathbb{R}^n\). Een ander speciaal geval is de verzameling \(\{\mathbf{0}\}\); dit is ook een deelruimte van \(\mathbb{R}^n\). Deze deelruimtes worden wel eens triviale deelruimtes genoemd.

Definitie: De kolomruimte van een matrix \(A\) is de verzameling \(\text{Col}(A)\) van alle lineaire combinaties van de kolommen van \(A\).

Definitie: De nulruimte van een matrix \(A\) is de verzameling \(\text{Nul}(A)\) van alle oplossingen van de homogene matrixvergelijking \(A\mathbf{x}=\mathbf{0}\).

Stelling: Als \(A\) een \(m\times n\) matrix is, dan is \(\text{Col}(A)\) een deelruimte van \(\mathbb{R}^m\) en is \(\text{Nul}(A)\) een deelruimte van \(\mathbb{R}^n\).

Definitie: Een basis van een deelruimte \(H\) van \(\mathbb{R}^n\) is een lineair onafhankelijke verzameling die \(H\) opspant.

Stelling: De pivotkolommen van een matrix \(A\) vormen een basis van de kolomruimte \(\text{Col}(A)\).

Voorbeeld: Beschouw de matrix \(A=\begin{pmatrix}1&0&-1\\-1&1&2\\2&-1&-3\end{pmatrix}\), dan volgt:

\[A=\begin{pmatrix}1&0&-1\\-1&1&2\\2&-1&-3\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}1&0&-1\\0&1&1\\0&-1&-1\end{pmatrix} \sim\begin{pmatrix}1&0&-1\\0&1&1\\0&0&0\end{pmatrix}.\]

Hieruit volgt dat bijvoorbeeld \(\left\{\begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}\right\}\) een basis van de kolomruimte \(\text{Col}(A)\) is. Verder volgt voor \(A\mathbf{x}=\mathbf{0}\) dat \(\mathbf{x}=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}\) met \(\left\{\begin{array}{l}x_1=x_3\\x_2=-x_3\\x_3\;\text{is vrij.}\end{array}\right.\quad\) Dus: \(\mathbf{x}=\begin{pmatrix}x_3\\-x_3\\x_3\end{pmatrix} =x_3\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}\) en daaruit volgt dat \(\left\{\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}\right\}\) een basis van de nulruimte \(\text{Nul}(A)\) is.

---

Laatst gewijzigd op 29 maart 2021