OnderwijsAnalyse – Functies van meerdere variabelen – Richtingsafgeleiden en de gradiëntvector
Definitie: Als \(f\) een functie is van twee variabelen dan heet
\[D_{\mathbf{u}}f(a,b)=\lim\limits_{h\to0}\frac{f(a+hu_1,b+hu_2)-f(a,b)}{h}\]de richtingsafgeleide van \(f\) in het punt \((a,b)\) in de richting van de eenheidsvector \(\mathbf{u}=\langle u_1,u_2\rangle\).
Opmerking: De partiële afgeleiden \(f_x\) en \(f_y\) zijn speciale gevallen:
\[f_x(a,b)=\lim\limits_{h\to0}\frac{f(a+h,b)-f(a,b)}{h}=D_{\mathbf{i}}(a,b)\quad\text{en}\quad f_y(a,b)=\lim\limits_{h\to0}\frac{f(a,b+h)-f(a,b)}{h}=D_{\mathbf{j}}(a,b).\]Stelling: Als \(f\) een differentieerbare functie is van \(x\) en \(y\), dan heeft \(f\) een richtingsafgeleide in de richting van iedere eenheidsvector \(\mathbf{u}=\langle u_1,u_2\rangle\) en
\[D_{\mathbf{u}}f(a,b)=f_x(a,b)u_1+f_y(a,b)u_2.\]Bewijs: Definieer een functie \(g\) van de enkele variabele \(h\) door
\[g(h)=f(a+hu_1,b+hu_2),\]dan geldt, per definitie, dat
\[g'(0)=\lim\limits_{h\to0}\frac{g(h)-g(0)}{h}=\lim\limits_{h\to0}\frac{f(a+hu_1,b+hu_2)-f(a,b)}{h}=D_{\mathbf{u}}f(a,b).\]Anderzijds geldt dat \(g(h)=f(x,y)\) met \(x=a+hu_1\) en \(y=b+hu_2\), waaruit volgt, met behulp van de kettingregel, dat
\[g'(h)=\frac{\partial f}{\partial x}\cdot\frac{dx}{dh}+\frac{\partial f}{\partial y}\cdot\frac{dy}{dh}=f_x(x,y)u_1+f_y(x,y)u_2.\]Neem nu \(h=0\), dan is \(x=a\) en \(y=b\), waaruit volgt dat
\[g'(0)=f_x(a,b)u_1+f_y(a,b)u_2.\]Dit toont aan dat \(D_\mathbf{u}f(a,b)=f_x(a,b)u_1+f_y(a,b)u_2\).
De gradiëntvector
Definitie: Als \(f\) een functie is van twee variabelen \(x\) en \(y\), dan is de gradiënt van \(f\) de vector \(\nabla f\) gedefinieerd door
\[\nabla f(x,y)=\langle f_x(x,y),f_y(x,y)\rangle=\frac{\partial f}{\partial x}\,\mathbf{i}+\frac{\partial f}{\partial y}\,\mathbf{j}.\]Met behulp van deze notatie volgt dat:
\[D_{\mathbf{u}}f(x,y)=\nabla f(x,y)\cdot\mathbf{u}.\]Functies van drie variabelen
Definitie: Als \(f\) een functie is van drie variabelen, dan heet
\[D_{\mathbf{u}}f(a,b,c)=\lim\limits_{h\to0}\frac{f(a+hu_1,b+hu_2,c+hu_3)-f(a,b,c)}{h}\]de richtingsafgeleide van \(f\) in het punt \((a,b,c)\) in de richting van de eenheidsvector \(\mathbf{u}=\langle u_1,u_2,u_3\rangle\).
Voor een functie \(f\) van drie variabelen, is de gradiëntvector \(\nabla f(x,y,z)=\langle f_x(x,y,z),f_y(x,y,z)f_z(x,y,z)\rangle\).
Evenzo geldt dan: \(D_{\mathbf{u}}f(x,y,z)=\nabla f(x,y,z)\cdot\mathbf{u}\).
Functies van meerdere variabelen
Meer algemeen geldt met behulp van vectornotatie
\[D_{\mathbf{u}}f(\mathbf{x})=\lim\limits_{h\to0}\frac{f(\mathbf{x}+h\mathbf{u})-h(\mathbf{x})}{h}.\]Dit is de richtingsafgeleide van \(f\) in het punt \(\mathbf{x}\) in de richting van de eenheidsvector \(\mathbf{u}\).
Maximimaliseren van de richtingsafgeleide
Stelling: Als \(f\) een differentieerbare functie van twee of drie variabelen, dan is de maximale waarde van de richtingsafgeleide \(D_{\mathbf{u}}f(\mathbf{x})\) gelijk aan \(|\nabla f(\mathbf{x})|\) en dit treedt op als \(\mathbf{u}\) dezelfde richting heeft als de gradiëntvector \(\nabla f(\mathbf{x})\).
Opmerking: De minimale waarde \(-\nabla f\) treedt op als \(\mathbf{u}\) de tegengestelde richting van de gradiëntvector \(\nabla f\) heeft.
Bewijs: Merk op dat
\[D_{\mathbf{u}}f=\nabla f\cdot\mathbf{u}=|\nabla f|\,|\mathbf{u}|\,\cos(\theta)=|\nabla f|\cos(\theta),\]waarbij \(\theta\) de hoek is tussen \(\nabla f\) en \(\mathbf{u}\). De maximale waarde van \(\cos(\theta)\) is \(1\) en dit treedt op als \(\theta=0\). De maximale waarde van \(D_{\mathbf{u}}f\) is dus \(|\nabla f|\) en dit treedt op als \(\theta=0\), dat wil zeggen, als \(\mathbf{u}\) dezelfde richting heeft als \(\nabla f\).
De minimale waarde van \(\cos(\theta)\) is \(-1\) en dit treedt op als \(\theta=\pi\), dus als \(\mathbf{u}\) de tegengestelde richting van \(\nabla f\) heeft.
Raakvlakken aan niveauoppervlakken
Stel dat \(S\) een oppervlak is met vergelijking \(F(x,y,z)=k\) en laat \(P=(a,b,c)\) een punt op \(S\) zijn.
De gradiëntvector in \(P\), \(\nabla F(a,b,c)\), staat loodrecht op het raakvlak aan het niveauoppervlak \(F(x,y,z)=k\) in \(P=(a,b,c)\).
Hieruit volgt dat dit raakvlak gegeven wordt door
\[F_x(a,b,c)(x-a)+F_y(a,b,c)(y-b)+F_z(a,b,c)(z-c)=0.\]Laatst gewijzigd op 20 september 2021
