OnderwijsAnalyse – Functies van meerdere variabelen – De kettingeregel
De kettingregel voor een functie van één variabele is:
Stelling: Als \(y=f(x)\) en \(x=g(t)\), waarbij \(f\) en \(g\) differentieerbare functies zijn, dan is
\[\frac{dx}{dt}=\frac{dy}{dx}\cdot\frac{dx}{dt}.\]Voor functies van meer dan één variabele heeft de kettingregel verschillende verschijningsvormen, afhankelijk van het aantal variabelen.
De kettingregel (geval 1)
Stelling: Als \(z=f(x,y)\) een differentieerbare functie van \(x\) en \(y\) is, waarbij \(x=g(t)\) en \(y=h(t)\) differentieerbare functie van \(t\) zijn, dan is
\[\frac{dz}{dt}=\frac{\partial z}{\partial x}\cdot\frac{dx}{dt}+\frac{\partial z}{\partial y}\cdot\frac{dy}{dt}.\]Opmerking: vergelijk met de (totale) differentiaal \(dz=\displaystyle\frac{\partial z}{\partial x}\,dx+\frac{\partial z}{\partial y}\,dy\).
Stewart §14.5, Voorbeeld 1
Als \(z=x^2y+3xy^4\), waarbij \(x=\sin(2t)\) en \(y=\cos(t)\), bepaal dan \(\displaystyle\frac{dz}{dt}\) als \(t=0\).
Oplossing: Merk op dat \(\displaystyle\frac{\partial z}{\partial x}=2xy+3y^4\) en \(\displaystyle\frac{\partial z}{\partial y}=x^2+12xy^3\), dus geldt:
\[\frac{dz}{dt}=\frac{\partial z}{\partial x}\cdot\frac{dx}{dt}+\frac{\partial z}{\partial y}\cdot\frac{dy}{dt} =(2xy+3y^4)\cdot2\cos(2t)+(x^2+12xy^3)\cdot(-\sin(t)).\]Voor \(t=0\) volgt: \(x=\sin(0)=0\) en \(y=\cos(0)=1\). Dus:
\[\frac{dz}{dt}\bigg|_{t=0}=(0+3)\cdot(2\cos(0))+(0+0)\cdot(-\sin(0))=6.\]De kettingregel (geval 2)
Stelling: Als \(z=f(x,y)\) een differentieerbare functie van \(x\) en \(y\) is, wwaarbij \(x=g(s,t)\) en \(y=h(s,t)\) differentieerbare functies van \(s\) en \(t\) zijn, dan is
\[\frac{\partial z}{\partial s}=\frac{\partial z}{\partial x}\cdot\frac{\partial x}{\partial s}+\frac{\partial z}{\partial y}\cdot\frac{\partial y}{\partial s} \quad\text{en}\quad \frac{\partial z}{\partial t}=\frac{\partial z}{\partial x}\cdot\frac{\partial x}{\partial t}+\frac{\partial z}{\partial y}\cdot\frac{\partial y}{\partial t}.\]Stewart §14.5, Voorbeeld 3
Als \(z=e^x\sin(y)\), waarbij \(x=st^2\) en \(y=s^2t\), bepaal dan \(\displaystyle\frac{\partial z}{\partial s}\) en
\(\displaystyle\frac{\partial z}{\partial t}\).
Oplossing:
\[\frac{\partial z}{\partial s}=\frac{\partial z}{\partial x}\cdot\frac{\partial x}{\partial s}+\frac{\partial z}{\partial y}\cdot\frac{\partial y}{\partial s} =e^x\sin(y)\cdot t^2+e^x\cos(y)\cdot2st=t^2e^{st^2}\sin(s^2t)+2ste^{st^2}\cos(s^2t)\]en
\[\frac{\partial z}{\partial t}=\frac{\partial z}{\partial x}\cdot\frac{\partial x}{\partial t}+\frac{\partial z}{\partial y}\cdot\frac{\partial y}{\partial t} =e^x\sin(y)\cdot 2st+e^x\cos(y)\cdot s^2=2ste^{st^2}\sin(s^2t)+s^2e^{st^2}\cos(s^2t)\]De kettingregel (de algemene versie)
Stelling: Als \(z=f(x_1,x_2,\ldots,x_n)\) een differentieerbare functie van \(x_1,x_2,\ldots,x_n\) is, waarbij elke \(x_i\) een differentieerbare functie van \(t_1,t_2,\ldots,t_m\) is, dan is
\[\frac{\partial z}{\partial t_i}=\frac{\partial z}{\partial x_1}\cdot\frac{\partial x_1}{\partial t_i} +\frac{\partial z}{\partial x_2}\cdot\frac{\partial x_2}{\partial t_i}+\cdots+\frac{\partial z}{\partial x_n}\cdot\frac{\partial x_n}{\partial t_i}\]voor iedere \(i=1,2,\ldots,m\).
Stewart §14.5, Voorbeeld 5
Als \(u=x^4y+y^2z^3\), waarbij \(x=rse^t\), \(y=rs^2e^{-t}\) en \(z=r^2s\sin(t)\), bepaal dan de waarde van \(\displaystyle\frac{\partial u}{\partial s}\)
als \(r=2\), \(s=1\) en \(t=0\).
Oplossing: Merk op dat
\[\frac{\partial u}{\partial s}=\frac{\partial u}{\partial x}\cdot\frac{\partial x}{\partial s}+\frac{\partial u}{\partial y}\cdot\frac{\partial y}{\partial s} +\frac{\partial u}{\partial z}\cdot\frac{\partial z}{\partial s}=4x^3y\cdot re^t+(x^4+2yz^3)\cdot2rse^{-t}+3y^2z^2\cdot r^2\sin(t).\]Als \(r=2\), \(s=1\) en \(t=0\) dan geldt dat \(x=2\), \(y=2\) en \(z=0\), dus
\[\frac{\partial u}{\partial s}=64\cdot2+16\cdot4+0\cdot0=192.\]Impliciet differentiëren
Als \(F(x,y)=0\) met \(y=f(x)\), dan volgt uit de kettingregel dat
\[\frac{\partial F}{\partial x}\cdot\frac{dx}{dx}+\frac{\partial F}{\partial y}\cdot\frac{dy}{dx}=0.\]Omdat \(\displaystyle\frac{dx}{dx}=1\), volgt dat
\[\frac{dy}{dx}=-\frac{\displaystyle\frac{\partial F}{\partial x}}{\displaystyle\frac{\partial F}{\partial y}}=-\frac{F_x}{F_y},\]mits \(F_y=\displaystyle\frac{\partial F}{\partial y}\neq0\).
Stewart §14.5, Voorbeeld 8
Bepaal \(y'=\displaystyle\frac{dy}{dx}\) als \(x^3+y^3=6xy\).
Oplossing: Merk op dat de gegeven vergelijking geschreven kan worden als
\[F(x,y)=x^3+y^3-6xy=0.\]Dan geldt:
\[y'=\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x}{F_y}=-\frac{3x^2-6y}{3y^2-6x}=-\frac{x^2-y}{y^2-x}.\]Als \(F(x,y,z)=0\) met \(z=f(x,y)\), dan volgt
\[\frac{\partial F}{\partial x}+\frac{\partial F}{\partial z}\cdot\frac{\partial z}{\partial x}=0\quad\text{en}\quad \frac{\partial F}{\partial y}+\frac{\partial F}{\partial z}\cdot\frac{\partial z}{\partial y}=0.\]Dus
\[\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{\displaystyle\frac{\partial F}{\partial x}}{\displaystyle\frac{\partial F}{\partial z}}=-\frac{F_x}{F_z} \quad\text{en}\quad \frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{\displaystyle\frac{\partial F}{\partial y}}{\displaystyle\frac{\partial F}{\partial z}}=-\frac{F_y}{F_z},\]mits \(F_z=\displaystyle\frac{\partial F}{\partial z}\neq0\).
Stewart §14.5, Voorbeeld 9
Bepaal \(\displaystyle\frac{\partial z}{\partial x}\) en \(\displaystyle\frac{\partial z}{\partial y}\) als \(x^3+y^3+z^3+6xyz=1\).
Oplossing: Laat \(F(x,y,z)=x^3+y^3+z^3+6xyz-1\), dan volgt
\[\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_x}{F_z}=-\frac{3x^2+6yz}{3z^2+6xy}=-\frac{x^2+2yz}{z^2+2xy}\]en
\[\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F_y}{F_z}=-\frac{3y^2+6xz}{3z^2+6xy}=-\frac{y^2+2xz}{z^2+2xy}.\]Laatst gewijzigd op 17 september 2021
