OnderwijsAnalyse – Functies van meerdere variabelen – Limieten en continuïteit
Definitie: Laat \(f\) een functie van twee variabelen zijn waarvan het domein \(D\) punten bevat die willekeurig dicht bij \((a,b)\) liggen. Dan is
\[\lim\limits_{(x,y)\to(a,b)}f(x,y)=L,\]als er voor elke \(\epsilon > 0\) een \(\delta > 0\) bestaat zodat
\[|f(x,y)-L| < \epsilon\]voor alle \((x,y)\in D\) met \(0 < \sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2} < \delta\).
Als
\[f(x,y)\to L_1\quad\text{voor}\quad (x,y)\to(a,b)\quad\text{via een pad}\quad C_1\]en
\[f(x,y)\to L_2\quad\text{voor}\quad (x,y)\to(a,b)\quad\text{via een pad}\quad C_2\]met \(L_1\neq L_2\), dan bestaat \(\displaystyle\lim\limits_{(x,y)\to(a,b)}f(x,y)\) niet.
Voorbeelden
1) \(\displaystyle\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}\) bestaat niet. Laat \(f(x,y)=\displaystyle\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}\). Dan geldt:
\[\lim\limits_{x\to0}f(x,0)=\lim\limits_{x\to0}\frac{x^2-0}{x^2+0}=1\quad\text{en}\quad\lim\limits_{y\to0}f(0,y)=\lim\limits_{y\to0}\frac{0-y^2}{0+y^2}=-1.\]2) \(\displaystyle\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}\frac{xy}{x^2+y^2}\) bestaat niet. Voor \(y=0\) geldt
\(\displaystyle\lim\limits_{x\to0}\frac{0}{x^2+0}=0\) en voor \(x=0\) geldt \(\displaystyle\lim\limits_{y\to0}\frac{0}{0+y^2}=0\).
Echter, voor \(y=x\) geldt \(\displaystyle\lim\limits_{x\to0}\frac{x^2}{x^2+x^2}=\frac{1}{2}\neq0\).
3) \(\displaystyle\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^2y}{x^4+y^2}\) bestaat niet. Voor \(y=mx\) geldt
\(\displaystyle\lim\limits_{x\to0}\frac{mx^3}{x^4+m^2x^2}=\lim\limits_{x\to0}\frac{mx}{x^2+m^2}=0\).
Echter, voor \(y=x^2\) geldt \(\displaystyle\lim\limits_{x\to0}\frac{x^2\cdot x^2}{x^4+x^4}=\lim\limits_{x\to0}\frac{x^4}{2x^4}=\frac{1}{2}\neq0\).
4) \(\displaystyle\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}\frac{2xy^2}{x^2+y^2}=0\).
Bewijs: Laat \(\epsilon > 0\). We zoeken nu een \(\delta > 0\) zodat
\[\left|\frac{2xy^2}{x^2+y^2}-0\right|<\epsilon\quad\text{voor}\quad0 < \sqrt{x^2+y^2} < \delta.\]Nu geldt: \(|x|=\sqrt{x^2}\leq\sqrt{x^2+y^2}\) en \(y^2\leq x^2+y^2\) en dus
\[\left|\frac{2xy^2}{x^2+y^2}-0\right|\leq\frac{2\cdot\sqrt{x^2+y^2}\cdot(x^2+y^2)}{x^2+y^2}=2\sqrt{x^2+y^2}<2\delta\leq\epsilon\]voor \(\delta\leq\frac{1}{2}\epsilon\).
Definitie: Een functie \(f\) van twee variabelen heet continu in \((a,b)\) als \(\displaystyle\lim\limits_{(x,y)\to(a,b)}f(x,y)=f(a,b)\).
We zeggen dat \(f\) continu is op \(D\) als \(f\) continu is in elk punt \((a,b)\) in \(D\).
Voorbeeld: De functie \(f(x,y)=\left\{\begin{array}{ll}\displaystyle\frac{2xy^2}{x^2+y^2},&(x,y)\neq(0,0)\\[2.5mm]0,&(x,y)=(0,0)\end{array}\right.\quad \) is continu op \(\mathbb{R}^2\).
Definitie: Laat \(f\) een functie zijn van drie variabelen waarvan het domein \(D\) punten bevat die willekeurig dicht bij \((a,b,c)\) liggen. Dan is
\[\lim\limits_{(x,y,z)\to(a,b,c)}f(x,y,z)=L,\]als er voor elke \(\epsilon > 0\) een \(\delta > 0\) bestaat zodat
\[|f(x,y,z)-L| < \epsilon\]voor alle \((x,y,z)\in D\) met \(0 < \sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2} < \delta\).
Definitie: Een functie \(f\) van drie variabelen heet continu in \((a,b,c)\) als
\(\displaystyle\lim\limits_{(x,y,z)\to(a,b,c)}f(x,y,z)=f(a,b,c)\).
We zeggen dat \(f\) continu is op \(D\) als \(f\) continu is in elk punt \((a,b,c)\) in \(D\).
Voorbeelden
1) \(\displaystyle\lim\limits_{(x,y,z)\to(0,0,0)}\frac{x^2+y^2}{x^2+y^2+z^2}\) bestaat niet, want
\[\lim\limits_{x\to0}\frac{x^2+0}{x^2+0+0}=1\quad\text{en}\quad\lim\limits_{z\to0}\frac{0+0}{0+0+z^2}=0.\]2) \(\displaystyle\lim\limits_{(x,y,z)\to(0,0,0)}\frac{x^2y}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}=0\), want
\[\left|\frac{x^2y}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}-0\right|\leq\frac{(x^2+y^2+z^2)\sqrt{x^2+y^2+z^2}}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}=x^2+y^2+z^2<\delta^2\leq\epsilon.\]Laatst gewijzigd op 15 september 2021
