Speciale Functies – Orthogonale polynomen – Chebyshev polynomen

Voor \(x\in[-1,1]\) worden de Chebyshev polynomen \(T_n(x)\) van de eerste soort en de Chebyshev polynomen \(U_n(x)\) van de tweede soort gedefinieerd door

\[T_n(x)=\cos(n\theta)\quad\text{en}\quad U_n(x)=\frac{\sin(n+1)\theta}{\sin\theta},\quad x=\cos\theta,\quad n=0,1,2,\ldots.\]

De orthogonaliteitseigenschap wordt gegeven door

\[\int_{-1}^1(1-x^2)^{-1/2}T_m(x)T_n(x)\,dx=\int_0^{\pi}\cos(m\theta)\,\cos(n\theta)\,d\theta=0,\quad m\ne n\]

en

\[\int_{-1}^1(1-x^2)^{1/2}U_m(x)U_n(x)\,dx=\int_0^{\pi}\sin(m+1)\theta\,\sin(n+1)\theta\,d\theta=0,\quad m\ne n.\]

De Chebyshev polynomen zijn dus speciale gevallen van de Jacobi polynomen: \(\alpha=\beta=-\frac{1}{2}\) voor de eerste soort en \(\alpha=\beta=\frac{1}{2}\) voor de tweede soort.

Beide families van orthogonale polynomen voldoen aan de drieterms recurrente betrekking

\[P_{n+1}(x)=2xP_n(x)-P_{n-1}(x),\quad n=1,2,3,\ldots,\]

omdat geldt

\[T_{n+1}(x)+T_{n-1}(x)=\cos(n+1)\theta+\cos(n-1)\theta=2\cos\theta\cos(n\theta)=2xT_n(x)\]

en

\[U_{n+1}(x)+U_{n-1}(x)=\frac{\sin(n+2)\theta+\sin(n\theta)}{\sin\theta}=\frac{2\,\cos\theta\,\sin(n+1)\theta}{\sin\theta}=2xU_n(x).\]

Merk op dat

\[T_0(x)=U_0(x)=1,\quad T_1(x)=x\quad\text{en}\quad U_1(x)=2x.\]

Er geldt ook

\[T_n(x)=U_n(x)-xU_{n-1}(x),\quad n=1,2,3,\ldots,\]

want

\[U_n(x)-xU_{n-1}(x)=\frac{\sin(n+1)\theta-\cos\theta\,\sin(n\theta)}{\sin\theta}=\frac{\sin\theta\,\cos(n\theta)}{\sin\theta}=\cos(n\theta)=T_n(x).\]

Om een genererende functie te vinden voor de Chebyshev polynomen \(T_n(x)\) van de eerste soort, vermenigvuldigen we de recurrente betrekking met \(t^{n+1}\) en sommeren dat

\[\sum_{n=1}^{\infty}T_{n+1}(x)t^{n+1}=2x\sum_{n=1}^{\infty}T_n(x)t^{n+1}-\sum_{n=1}^{\infty}T_{n-1}(x)t^{n+1}.\]

Definieer nu

\[F(x,t)=\sum_{n=0}^{\infty}T_n(x)t^n,\quad |t|<1,\]

dan geldt

\[F(x,t)-T_1(x)t-T_0(x)=2xt\left[F(x,t)-T_0(x)\right]-t^2F(x,t).\]

Hieruit volgt dat

\[(1-2xt+t^2)F(x,t)=T_0(x)+T_1(x)t-2xtT_0(x)=1+xt-2xt=1-xt.\]

We hebben dus de genererende functie

\[\sum_{n=0}^{\infty}T_n(x)t^n=F(x,t)=\frac{1-xt}{1-2xt+t^2},\quad |t|<1.\]

Op dezelfde manier geldt voor de Chebyshev polynomen \(U_n(x)\) van de tweede soort:

\[G(x,t)=\sum_{n=0}^{\infty}U_n(x)t^n,\quad |t|<1\]

waarbij

\[(1-2xt+t^2)G(x,t)=U_0(x)+U_1(x)t-2xtU_0(x)=1+2xt-2xt=1.\]

Dus geldt

\[\sum_{n=0}^{\infty}U_n(x)t^n=G(x,t)=\frac{1}{1-2xt+t^2},\quad |t|<1.\]

Dit kan bijvoorbeeld worden gebruikt om te bewijzen dat

\[\sum_{k=0}^nT_k(x)x^{n-k}=U_n(x),\quad n=0,1,2,\ldots.\]

In feite geldt voor \(|t| < 1\)

\begin{align*} \sum_{n=0}^{\infty}\left(\sum_{k=0}^nT_k(x)x^{n-k}\right)t^n&=\sum_{k=0}^{\infty}\sum_{n=k}^{\infty}T_k(x)x^{n-k}t^n =\sum_{k=0}^{\infty}\sum_{n=0}^{\infty}T_k(x)x^nt^{n+k}=\sum_{k=0}^{\infty}T_k(x)t^k\cdot\sum_{n=0}^{\infty}(xt)^n\\[2.5mm] &=\frac{1-xt}{1-2xt+t^2}\cdot\frac{1}{1-xt}=\frac{1}{1-2xt+t^2}=\sum_{n=0}^{\infty}U_n(x)t^n. \end{align*}

Evenzo kunnen we aantonen dat

\[\sum_{k=0}^nP_k(x)P_{n-k}(x)=U_n(x),\quad n=0,1,2,\ldots,\]

waarbij \(P_n(x)\) het Legendre polynoom is. In feite geldt voor \(|t| < 1\)

\begin{align*} \sum_{n=0}^{\infty}\left(\sum_{k=0}^nP_k(x)P_{n-k}(x)\right)t^n&=\sum_{k=0}^{\infty}\sum_{n=k}^{\infty}P_k(x)P_{n-k}(x)t^n =\sum_{k=0}^{\infty}\sum_{n=0}^{\infty}P_k(x)P_n(x)t^{n+k}=\sum_{k=0}^{\infty}P_k(x)t^k\cdot\sum_{n=0}^{\infty}P_n(x)t^n\\[2.5mm] &=\frac{1}{\sqrt{1-2xt+t^2}}\cdot\frac{1}{\sqrt{1-2xt+t^2}}=\frac{1}{1-2xt+t^2}=\sum_{n=0}^{\infty}U_n(x)t^n. \end{align*}

De Chebyshev polynomen \(T_2(x)\), \(T_3(x)\) en \(T_4(x)\).	De Chebyshev polynomen \(U_2(x)\), \(U_3(x)\) en \(U_4(x)\).

---

Last modified on 22 mei 2021