OnderwijsSpeciale Functies – Orthogonale polynomen – Klassieke orthogonale polynomen
De klassieke orthogonale polynomen worden genoemd naar Hermite, Laguerre en Jacobi.
De Hermite polynomen zijn orthogonaal op het interval \((-\infty,\infty)=\mathbb{R}\) met betrekking tot de normale verdeling \(w(x)=e^{-x^2}\), de Laguerre polynomen zijn orthogonaal op het interval \((0,\infty)\) met betrekking tot de gamma verdeling \(w(x)=e^{-x}x^{\alpha}\) en de Jacobi polynomen zijn orthogonaal op het interval \((-1,1)\) met betrekking tot de beta verdeling \(w(x)=(1-x)^{\alpha}(1+x)^{\beta}\).
De Legendre polynomen vormen een speciaal geval (\(\alpha=\beta=0\)) van de Jacobi polynomen.
Deze klassieke orthogonale polynomen voldoen aan een orthogonaliteitsrelatie, een drieterms recurrente betrekking, een tweede orde lineaire differentiaalvergelijking en een zogenaamde Rodrigues formule. Bovendien bestaat er voor elke familie van klassieke orthogonale polynomen een genererende functie.
In het vervolg zullen we veel gebruik maken van de Kronecker delta die gedefinieerd wordt door
\[\delta_{mn}:=\left\{\begin{array}{ll}0, & m\neq n\\[2.5mm]1, & m=n\end{array}\right.\]voor \(m,n\in\{0,1,2,\ldots\}\) en van de notatie
\[D=\displaystyle\frac{d}{dx}\]voor de differentiaaloperator. Dan geldt de regel van Leibniz
\[D^n\left[f(x)g(x)\right]=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}D^kf(x)D^{n-k}g(x),\quad n=0,1,2,\ldots,\]een generalisatie van de productregel. Het bewijs hiervan gaat met volledige inductie en maakt gebruik van de identiteit uit de driehoek van Pascal
\[\binom{n}{k}+\binom{n}{k-1}=\binom{n+1}{k},\quad k=1,2,\ldots,n.\]Last modified on 22 mei 2021
