OnderwijsSpeciale Functies – Orthogonale polynomen – Algemene theorie
Drieterms recurrente betrekking
Stelling: Een rij orthogonale polynomen \(\{p_n(x)\}_{n=0}^{\infty}\) voldoet aan
\[p_{n+1}(x)=(A_nx+B_n)p_n(x)+C_np_{n-1}(x),\quad n=1,2,3,\ldots,\]waarbij
\[A_n=\frac{k_{n+1}}{k_n},\quad n=0,1,2,\ldots\quad\text{en}\quad C_n=-\frac{A_n}{A_{n-1}}\cdot\frac{h_n}{h_{n-1}},\quad n=1,2,3,\ldots.\]Bewijs: Omdat \(\text{graad}\left[p_n(x)\right]=n\) voor iedere \(n\in\{0,1,2,\ldots\}\) is de rij orthogonale polynomen \(\left\{p_n(x)\right\}_{n=0}^{\infty}\) lineair onafhankelijk. Laat \(A_n=k_{n+1}/k_n\). Dan is \(p_{n+1}(x)-A_nxp_n(x)\) een polynoom van de graad \(\leq n\). Dus
\[p_{n+1}(x)-A_nxp_n(x)=\sum_{k=0}^nc_kp_k(x).\]Uit de orthogonaliteitseigenschap volgt nu
\[\langle p_{n+1}(x)-A_nxp_n(x),\,p_k(x)\rangle =\sum_{m=0}^nc_m\langle p_m(x),\,p_k(x)\rangle=c_k\langle p_k(x),\,p_k(x)\rangle=c_k\,h_k.\]Hieruit volgt
\[h_k\,c_k=\langle p_{n+1}(x)-A_nxp_n(x),\,p_k(x)\rangle=\langle p_{n+1}(x),\,p_k(x)\rangle-A_n\langle xp_n(x),\,p_k(x)\rangle =-A_n\langle p_n(x),\,xp_k(x)\rangle.\]Voor \(k < n-1\) geldt \(\text{graad}\left[xp_k(x)\right] < n\) waaruit volgt dat \(\langle p_n(x),\,xp_k(x)\rangle=0\). Dus: \(c_k=0\) for \(k < n-1\). Dit bewijst dat de polynomen voldoen aan een drieterms recurrente betrekking
\[p_{n+1}(x)-A_nxp_n(x)=c_np_n(x)+c_{n-1}p_{n-1}(x),\quad n=1,2,3,\ldots.\]Verder geldt
\[h_{n-1}\,c_{n-1}=-A_n\langle p_n(x),\,xp_{n-1}(x)\rangle=-A_n\,\frac{k_{n-1}}{k_n}\,h_n \quad\Longrightarrow\quad c_{n-1}=-\frac{A_n}{A_{n-1}}\cdot\frac{h_n}{h_{n-1}}.\]Dit bewijst de stelling.
Merk op dat de drieterms recurrente betrekking voor een rij monische (\(k_n=1\)) orthogonale polynomen \(\{p_n(x)\}_{n=0}^{\infty}\) de volgende vorm heeft:
\[p_{n+1}(x)=xp_n(x)+B_np_n(x)+C_np_{n-1}(x)\quad\text{met}\quad C_n=-\frac{h_n}{h_{n-1}},\quad n=1,2,3,\ldots.\]Christoffel-Darboux formule
Stelling: Een rij orthogonale polynomen \(\left\{p_n(x)\right\}_{n=0}^{\infty}\) voldoet aan
\[\sum_{k=0}^n\frac{p_k(x)p_k(y)}{h_k}=\frac{k_n}{h_n\,k_{n+1}}\cdot \frac{p_{n+1}(x)p_n(y)-p_{n+1}(y)p_n(x)}{x-y},\quad n=0,1,2,\ldots\]en
\[\sum_{k=0}^n\frac{\left\{p_k(x)\right\}^2}{h_k}=\frac{k_n}{h_n\,k_{n+1}}\cdot \left(p_{n+1}'(x)p_n(x)-p_{n+1}(x)p_n'(x)\right),\quad n=0,1,2,\ldots.\]De eerste formule heet de Christoffel-Darboux formule en de tweede de confluente vorm daarvan.
Bewijs: Uit de drieterms recurrente betrekking volgt dat
\[p_{n+1}(x)p_n(y)=(A_nx+B_n)p_n(x)p_n(y)+C_np_{n-1}(x)p_n(y)\]en
\[p_{n+1}(y)p_n(x)=(A_ny+B_n)p_n(y)p_n(x)+C_np_{n-1}(y)p_n(x).\]Aftrekken geeft dan
\[p_{n+1}(x)p_n(y)-p_{n+1}(y)p_n(x)=A_n(x-y)p_n(x)p_n(y)+C_n\left[p_{n-1}(x)p_n(y)-p_{n-1}(y)p_n(x)\right].\]Dit leidt tot de telescopische som
\begin{align*} (x-y)\sum_{k=1}^n\frac{p_k(x)p_k(y)}{h_k}&=\sum_{k=1}^n\frac{p_{k+1}(x)p_k(y)-p_{k+1}(y)p_k(x)}{A_k\,h_k} -\sum_{k=1}^n\frac{p_k(x)p_{k-1}(y)-p_k(y)p_{k-1}(x)}{A_{k-1}\,h_{k-1}}\\[2.5mm] &=\frac{p_{n+1}(x)p_n(y)-p_{n+1}(y)p_n(x)}{A_n\,h_n}-\frac{k_0^2(x-y)}{h_0}. \end{align*}Hieruit volgt dat
\[(x-y)\sum_{k=0}^n\frac{p_k(x)p_k(y)}{h_k}=\frac{p_{n+1}(x)p_n(y)-p_{n+1}(y)p_n(x)}{A_n\,h_n} =\frac{k_n}{h_n\,k_{n+1}}\left(p_{n+1}(x)p_n(y)-p_{n+1}(y)p_n(x)\right),\]waarmee de Christoffel-Darboux formule is aangetoond. De confluente vorm volgt dan door de limiet \(y\rightarrow x\) te nemen:
\begin{align*} \lim\limits_{y\rightarrow x}\frac{p_{n+1}(x)p_n(y)-p_{n+1}(y)p_n(x)}{x-y}&=\lim\limits_{y\rightarrow x} \frac{p_n(x)\left(p_{n+1}(x)-p_{n+1}(y)\right)-p_{n+1}(x)\left(p_n(x)-p_n(y)\right)}{x-y}\\[2.5mm] &=p_n(x)p_{n+1}'(x)-p_{n+1}(x)p_n'(x). \end{align*}Nulpunten
Stelling: Als \(\{p_n(x)\}_{n=0}^{\infty}\) een rij orthogonale polynomen is op het interval \((a,b)\) met betrekking tot de gewichtsfunctie \(w(x)\), dan heeft het polynoom \(p_n(x)\) precies \(n\) reële enkelvoudige nulpunten in het interval \((a,b)\).
Bewijs: Omdat \(\text{graad}[p_n(x)]=n\) heeft het polynoom maximaal \(n\) reële nulpunten. Neem aan dat \(p_n(x)\) \(m\leq n\) verschillende reële nulpunten \(x_1,x_2,\ldots,x_m\) in \((a,b)\) heeft van oneven multipliciteit. Dan verandert het polynoom
\[p_n(x)(x-x_1)(x-x_2)\cdots(x-x_m)\]niet van teken op het interval \((a,b)\). Hieruit volgt dat
\[\int_a^bw(x)p_n(x)(x-x_1)(x-x_2)\cdots(x-x_m)\,dx\neq 0.\]Uit de orthogonaliteit volgt dat deze integraal nul is als \(m < n\). Dus: \(m=n\), waaruit volgt dat \(p_n(x)\) \(n\) verschillende reële nulpunten heeft van oneven multipliciteit in \((a,b)\). Dit bewijst dat alle \(n\) nulpunten verschillend zijn en enkelvoudig (ze hebben multipliciteit één).
Stelling: Als \(\{p_n(x)\}_{n=0}^{\infty}\) een rij orthogonale polynomen is op het \((a,b)\) met betrekking tot de gewichtsfunctie \(w(x)\), dan wisselen de nulpunten van \(p_n(x)\) en \(p_{n+1}(x)\) elkaar af.
Bewijs: Dit volgt uit de confluente vorm van de Christoffel-Darboux formule. Merk op dat
\[h_n=\int_a^bw(x)\left\{p_n(x)\right\}^2\,dx>0,\quad n=0,1,2,\ldots.\]Hieruit volgt dat
\[\frac{k_n}{h_n\,k_{n+1}}\cdot\left(p_{n+1}'(x)p_n(x)-p_{n+1}(x)p_n'(x)\right)=\sum_{k=0}^n\frac{\left\{p_k(x)\right\}^2}{h_k}>0.\]Dus
\[\frac{k_n}{k_{n+1}}\cdot\left(p_{n+1}'(x)p_n(x)-p_{n+1}(x)p_n'(x)\right)>0.\]Neen nu aan dat \(x_{n,k}\) en \(x_{n,k+1}\) twee opeenvolgende nulpunten zijn van \(p_n(x)\) met \(x_{n,k} < x_{n,k+1}\). Omdat alle \(n\) nulpunten van \(p_n(x)\) reëel en enkelvoudig zijn, hebben \(p_n'(x_{n,k})\) en \(p_n'(x_{n,k+1})\) tegengesteld teken. Dus geldt
\[p_n(x_{n,k})=0=p_n(x_{n,k+1})\quad\text{en}\quad p_n'(x_{n,k})\cdot p_n'(x_{n,k+1})<0.\]Hieruit volgt dat \(p_{n+1}(x_{n,k})\cdot p_{n+1}(x_{n,k+1})\) ook negatief moet zijn. Uit de continuïteit van \(p_{n+1}(x)\) volgt dan dat er minstens één nulpunt van \(p_{n+1}(x)\) tussen \(x_{n,k}\) en \(x_{n,k+1}\) ligt. Echter, dit geldt voor elk tweetal opeenvolgende nulpunten van \(p_n(x)\). Dit bewijst de stelling.
Bovendien, als \(\{x_{n,k}\}_{k=1}^n\) en \(\{x_{n+1,k}\}_{k=1}^{n+1}\) de opeenvolgende nulpunten van respectievelijk \(p_n(x)\) en \(p_{n+1}(x)\) zijn, dan geldt
\[a < x_{n+1,1} < x_{n,1} < x_{n+1,2} < x_{n,2} < \cdots < x_{n+1,n} < x_{n,n} < x_{n+1,n+1} < b.\]Gauss kwadratuur
Als \(f\) een continue functie is op \((a,b)\) en \(x_1 < x_2 < \cdots < x_n\) zijn \(n\) verschillende punten in \((a,b)\), dan bestaat er precies één polynoom \(P\) met graad \(\leq n-1\) zodat \(P(x_i)=f(x_i)\) voor alle \(i=1,2,\ldots,n\). Dit polynoom \(P\) kan eenvoudig worden gevonden met behulp van Lagrange interpolatie als volgt. Definieer
\[p(x)=(x-x_1)(x-x_2)\cdots(x-x_n)\]en beschouw
\[P(x)=\sum_{i=1}^nf(x_i)\frac{p(x)}{(x-x_i)p'(x_i)} =\sum_{i=1}^nf(x_i)\frac{(x-x_1)\cdots(x-x_{i-1})(x-x_{i+1})\cdots(x-x_n)}{(x_i-x_1)\cdots(x_i-x_{i-1})(x_i-x_{i+1})\cdots(x_i-x_n)}.\]Laat \(\{p_n(x)\}_{n=0}^{\infty}\) een rij orthogonale polynomen zijn op het interval \((a,b)\) met betrekking tot de gewichtsfunctie
\(w(x)\). Dan nemen we voor \(x_1 < x_2 < \cdots < x_n\) de \(n\) verschillende reële nulpunten van het polynoom \(p_n(x)\). Als \(f\)
een polynoom is van graad \(\leq 2n-1\), dan is \(f(x)-P(x)\) een polynoom van graad \(\leq 2n-1\) met minstens de nulpunten
\(x_1 waarbij \(r(x)\) een polynoom van graad \(\leq n-1\) is. Dit kunnen we ook schrijven als Hieruit volgt dat Omdat \(\text{graad}[r(x)]\leq n-1\) volgt uit de orthogonaliteitseigenschap dat de laatste integraal gelijk aan nul is. Hieruit volgt dat Dit is de Gauss kwadratuur formule. Dit geeft de waarde van de integraal in het geval dat \(f\) een polynoom van graad \(\leq 2n-1\)
is, als de waarde van \(f(x_i)\) bekende is voor de \(n\) nulpunten \(x_1 < x_2 < \cdots < x_n\) van het polynoom \(p_n(x)\). Als \(f\) niet een polynoom van graad \(\leq 2n-1\) is, dan geeft dit een benadering van de integraal: De coëfficiënten \(\{\lambda_{n,i}\}_{i=1}^n\) heten Christoffel getallen. Merk op dat deze getallen niet afhangen
van de functie \(f\). Deze Christoffel getallen zijn allemaal positief. Dit kan als volgt worden aangetoond. Er geldt Dan is \(\ell_{n,i}^2(x)-\ell_{n,i}(x)\) een polynoom van graad \(\leq 2n-2\) gelijk aan nul in de nulpunten \(\{x_{n,k}\}_{k=1}^n\) van
\(p_n(x)\). Hence Hieruit volgt dat vanwege de orthogonaliteit. Dus geldt Nu kunnen we ook bewijzen: Stelling: Laat \(\{p_n(x)\}_{n=0}^{\infty}\) een rij orthogonale polynomen zijn op het interval \((a,b)\) met betrekking tot de
gewichtsfunctie \(w(x)\) en stel dat \(m < n\). Dan geldt: tussen elk tweetal nulpunten van \(p_m(x)\) bevindt zich minstens één
nulpunten van \(p_n(x)\). Bewijs: Neem aan dat \(x_{m,k}\) en \(x_{m,k+1}\) twee opeenvolgende nulpunten zijn van \(p_m(x)\) en dat er geen nulpunt
is van \(p_n(x)\) in \((x_{m,k},x_{m,k+1})\) ligt. Beschouw dan het polynoom Dan geldt Nu geeft de Gauss kwadratuur formule waarbij \(\{x_{n,i}\}_{i=1}^n\) de nulpunten zijn van \(p_n(x)\). Omdat er geen nulpunten van \(p_n(x)\) in \((x_{m,k},x_{m,k+1})\)
liggen, geldt dat \(g(x_{n,i})p_m(x_{n,i})\geq 0\) voor alle \(i=1,2,\ldots,n\). Verder geldt \(\lambda_{n,i}>0\) voor alle
\(i=1,2,\ldots,n\) waaruit volgt dat de som in het rechterlid niet nul kan zijn. Echter, de integraal in het linkerlidis nul vanwege de
orthogonaliteit. Deze tegenspraak bewijst dat er minstens één nulpunt van \(p_n(x)\) ligt tussen twee opeenvolgende
nulpunten van \(p_m(x)\).
Last modified on 22 mei 2021
